A) Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função
. Isso envolve encontrar onde as derivadas parciais são zero e depois usar essas segundas derivadas para descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem para usar no teste da derivada segunda.
Passo 4
Com essas segundas derivadas, calculamos o determinante
da matriz Hessiana:
Passo 5
Agora, analisamos os valores de
e
para classificar o ponto crítico:
- Se
e , então é um mínimo local. - Se
e , então é um máximo local. - Se
, então é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico
é um mínimo local da função
.
Exercícios relacionados
Considere a função:
B) determine a linearização
de f em ( 0,1 ) e calcule o valor de
. Explique porque o valor calculado é uma boa aproximação do valor do valor de f
.
Considere a função:
A) determine o valor de taxa de variação máxima de f em
na direção do vetor
.
considere
B) determine as derivadas parciais de ordem 2 de
B) determine as derivadas parciais de ordem 2 de
Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
;