A) Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função . Isso envolve encontrar onde as derivadas parciais são zero e depois usar essas segundas derivadas para descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem para usar no teste da derivada segunda.

Passo 4

Com essas segundas derivadas, calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 5

Agora, analisamos os valores de e para classificar o ponto crítico:
  • Se e , então é um mínimo local.
  • Se e , então é um máximo local.
  • Se , então é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é um mínimo local da função .

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