Ache a solução geral das EDOs

Passo 1

Entendendo o problema: Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Montando a equação característica: Para resolver uma EDO linear de segunda ordem como essa, começamos escrevendo a equação característica associada:
Aqui, representa as raízes que nos ajudarão a construir a solução geral da EDO.

Passo 3

Calculando as raízes da equação característica: Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde, na nossa equação:

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante ( ) é zero, temos uma raiz real dupla.

Passo 5

Encontrando a raiz dupla:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 6

Construindo a solução geral: Quando a equação característica possui uma raiz real dupla , a solução geral da EDO é:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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