Ache a solução geral das EDOs
Passo 1
Entendendo o problema: Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Montando a equação característica: Para resolver uma EDO linear de segunda ordem como essa, começamos escrevendo a equação característica associada:
Aqui,
representa as raízes que nos ajudarão a construir a solução geral da EDO.
Passo 3
Calculando as raízes da equação característica: Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde, na nossa equação:
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante (
) é zero, temos uma raiz real dupla.
Passo 5
Encontrando a raiz dupla:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 6
Construindo a solução geral: Quando a equação característica possui uma raiz real dupla
, a solução geral da EDO é:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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