Ache a solução geral das EDOs

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Conteúdo envolvido: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares homogêneas com coeficientes constantes.
O que precisamos: Encontrar a solução geral dessa EDO usando o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:
Para resolver, usamos a equação característica, que é uma equação quadrática associada à EDO:
Nesse caso, comparando com a nossa EDO:

Passo 3

Agora, vamos montar a equação característica substituindo os valores de , e :

Passo 4

Para encontrar as raízes dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando o discriminante :
Quando o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais.

Passo 6

Com , as raízes são iguais:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 7

Quando temos raízes reais e iguais , a solução geral da EDO é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 8

Substituindo na fórmula da solução geral:

Resposta

A solução geral da EDO é

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