Ache a solução geral das EDOs
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Conteúdo envolvido: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares homogêneas com coeficientes constantes.
O que precisamos: Encontrar a solução geral dessa EDO usando o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:
Para resolver, usamos a equação característica, que é uma equação quadrática associada à EDO:
Nesse caso, comparando com a nossa EDO:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação característica substituindo os valores de
,
e
:
Passo 4
Para encontrar as raízes
dessa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando o discriminante
:
Quando o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais.
Passo 6
Com
, as raízes são iguais:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 7
Quando temos raízes reais e iguais
, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Substituindo
na fórmula da solução geral:
Resposta
A solução geral da EDO é
Exercícios relacionados
Ache a solução geral das EDOs
Ache a solução geral das EDOs
Ache a solução geral das EDOs
Ache a solução geral das EDOs