Ache a solução geral das EDOs
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, uma expressão para
que satisfaça a equação para quaisquer constantes
e
.
Passo 2
Para resolver uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, usamos a equação característica associada. A equação característica para uma EDO da forma:
é dada por:
No nosso caso, os coeficientes são:
Substituindo esses valores na equação característica, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. Para resolver uma equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores que temos:
Passo 4
Vamos calcular o discriminante
dentro da raiz:
Como o discriminante é positivo (
), teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Substituindo o valor de
na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 6
Com os valores de
e
, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
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Sejam
deriváveis em
. Prove que se
e
forem linearmente dependente, então o wronskiano de
será identicamente nulo em
.