Ache a solução geral das EDOs

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, uma expressão para que satisfaça a equação para quaisquer constantes e .

Passo 2

Para resolver uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, usamos a equação característica associada. A equação característica para uma EDO da forma:
é dada por:
No nosso caso, os coeficientes são:
Substituindo esses valores na equação característica, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Para resolver uma equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores que temos:

Passo 4

Vamos calcular o discriminante dentro da raiz:
Como o discriminante é positivo ( ), teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Substituindo o valor de na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 6

Com os valores de e , a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Sejam deriváveis em . Prove que se e forem linearmente dependente, então o wronskiano de será identicamente nulo em .