Sejam deriváveis em . Prove que se e forem linearmente dependente, então o wronskiano de será identicamente nulo em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que se duas funções e são linearmente dependentes em um intervalo , então o wronskiano delas é sempre zero nesse intervalo. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de wronskiano, que é uma ferramenta usada para verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas funções serem linearmente dependentes e como calcular o wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é dependência linear entre funções. Duas funções e são linearmente dependentes se uma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Ou seja, existe um número constante tal que ou .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o wronskiano de duas funções. O wronskiano é definido como o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas:
Ele nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes: se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são independentes naquele ponto.
Passo 4
Agora, como as funções e são linearmente dependentes, vamos supor que para algum constante . Vamos substituir isso na expressão do wronskiano:
Como você pode ver, os termos se cancelam, resultando em zero.
Passo 5
Alternativamente, se , o raciocínio é o mesmo:
De qualquer forma, o wronskiano será zero.
Resposta
Portanto, se e são linearmente dependentes em , o wronskiano é sempre zero nesse intervalo.