Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente precisa achar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar as soluções dessa equação, usamos o polinômio característico. Substituímos por e obtemos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para achar os valores de .
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são e . Essas raízes distintas nos dizem que as soluções da equação homogênea são:
Onde e são constantes que vamos determinar com condições iniciais, se tiverem.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau (), vamos supor que também seja um polinômio de grau 2:
Vamos calcular as derivadas de e substituir na equação para encontrar os coeficientes , e .