Ache a solução geral da equação:
y'' - 3y' + 2y = 4x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente precisa achar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar as soluções dessa equação, usamos o polinômio característico. Substituímos por e obtemos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para achar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são e . Essas raízes distintas nos dizem que as soluções da equação homogênea são:
Onde e são constantes que vamos determinar com condições iniciais, se tiverem.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ( ), vamos supor que também seja um polinômio de grau 2:
Vamos calcular as derivadas de e substituir na equação para encontrar os coeficientes , e .

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes reais.

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