Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Basicamente, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente: . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá:
Os valores complexos indicam que a solução geral da equação homogênea será da forma:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método envolve assumir que as constantes e na solução homogênea não são mais constantes, mas funções e .

Passo 6

A solução particular será:
Onde e .

Passo 7

Para encontrar e , usamos as condições:
Essas equações nos ajudam a determinar e de forma a simplificar os cálculos.

Passo 8

Resolvendo o sistema, encontramos e . Após integrações e simplificações (que podem ser bastante trabalhosa e envolver integrais de fun��ões exponenciais e trigonométricas), obtemos as expressões para e .

Passo 9

Finalmente, substituímos e na expressão de para obter a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a solução particular obtida pelo método da variação dos parâmetros, e , são constantes arbitrárias.

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Ache a solução geral da equação:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:
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