Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver a equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Basicamente, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá:
Os valores complexos indicam que a solução geral da equação homogênea será da forma:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Esse método envolve assumir que as constantes
e
na solução homogênea não são mais constantes, mas funções
e
.
Passo 6
A solução particular será:
Onde
e
.
Passo 7
Para encontrar
e
, usamos as condições:
Essas equações nos ajudam a determinar
e
de forma a simplificar os cálculos.
Passo 8
Resolvendo o sistema, encontramos
e
. Após integrações e simplificações (que podem ser bastante trabalhosa e envolver integrais de fun��ões exponenciais e trigonométricas), obtemos as expressões para
e
.
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
para obter a solução particular.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é a solução particular obtida pelo método da variação dos parâmetros, e
,
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.
Ache a solução geral da equação:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial: