Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A equação característica dessa equação homogênea é:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Assumimos que:
Aqui, e são funções que vamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Isso nos ajuda a resolver o sistema mais facilmente.

Passo 5

Substituindo a condição na expressão de , temos:
Agora, substituímos e suas derivadas na equação diferencial original:
Após simplificar, chegamos a:
O que simplifica para:
Percebi que houve um erro na simplificação anterior. Vamos ajustar.

Passo 6

Voltando à substituição correta, temos:
Simplificando:
Isso indica que precisamos reconsiderar nossa abordagem. Na verdade, devemos usar a expressão correta para com as derivadas apropriadas.
Vamos reavaliar:
Usando a condição , obtemos:

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por e a segunda por , e assim por diante, para encontrar e .
Após resolver, encontramos:

Passo 8

Integrando e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial: