Calcule onde utilizando 3 ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla onde a região é definida por , e . Isso tá ligado ao cálculo de volumes e integrais múltiplas em cálculo multivariável. Vamos precisar entender as ordens de integração diferentes e como aplicá-las nessa região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a primeira ordem de integração: , , . Isso significa que vamos integrar em relação a primeiro, depois e por último .

Passo 3

Escrevemos a integral na ordem escolhida:

Passo 4

Vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 6

Por último, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral final é:

Passo 7

Agora, vamos escolher a segunda ordem de integração: , , . Isso significa que vamos integrar em relação a primeiro, depois e por último .

Passo 8

Escrevemos a integral na ordem escolhida:

Passo 9

Vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 11

Por último, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral final é:

Passo 12

Por último, vamos escolher a terceira ordem de integração: , , . Isso significa que vamos integrar em relação a primeiro, depois e por último .

Passo 13

Escrevemos a integral na ordem escolhida:

Passo 14

Vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 15

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:

Passo 16

Por último, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral final é:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Defina o conceito de Integral Tripla (Por Somas de Riemann) em paralelepípedos. Defina e esboce os tipos de região (Tipo I, II e III) de integração no espaço, conforme apresentado nos textos de apoio. Nesse item, vocês poderão utilizar o material disponibilizado e também aplicativos e softwares para os esboços, se acharem pertinente.
Ache a solução geral da equação: