Calcule integral triplaD(z x^2-y) d V onde D=(x, y, z) in R^3 /-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla onde a região é definida por , e . Isso tá ligado ao cálculo de volumes e integrais múltiplas em cálculo multivariável. Vamos precisar entender as ordens de integração diferentes e como aplicá-las nessa região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a primeira ordem de integração: , , . Isso significa que vamos integrar em relação a primeiro, depois e por último .

Passo 3

Escrevemos a integral na ordem escolhida:
integral0^1 integral0^2 integral-1^1 (z x^2 - y) dx , dy , dz

Passo 4

Vamos integrar em relação a integral-1^1 (z x^2 - y) dx = z integral-1^1 x^2 dx - y integral-1^1 dx :
z [ x^33 ]-1^1 = z ( 13 - (-13) ) = z ( 23 ) = 2z3
Calculando cada parte:
- y [ x ]-1^1 = -y (1 - (-1)) = -y (2) = -2y
2z3 - 2y
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integral0^2 ( 2z3 - 2y ) dy = 2z3 integral0^2 dy - 2 integral0^2 y , dy :
2z3 [y]0^2 = 2z3 times 2 = 4z3
Calculando cada parte:
-2 [ y^22 ]0^2 = -2 ( 42 - 0 ) = -2 times 2 = -4
4z3 - 4
Então, a integral fica:

Passo 6

Por último, integramos em relação a integral0^1 ( 4z3 - 4 ) dz = 43 integral0^1 z , dz - 4 integral0^1 dz :
43 [ z^22 ]0^1 = 43 times 12 = 23
Calculando cada parte:
-4 [z]0^1 = -4 (1 - 0) = -4
23 - 4 = -103
Então, a integral final é:

Passo 7

Agora, vamos escolher a segunda ordem de integração: , , . Isso significa que vamos integrar em relação a primeiro, depois e por último .

Passo 8

Escrevemos a integral na ordem escolhida:
integral-1^1 integral0^1 integral0^2 (z x^2 - y) dy , dz , dx

Passo 9

Vamos integrar em relação a integral0^2 (z x^2 - y) dy = z x^2 integral0^2 dy - integral0^2 y , dy :
z x^2 [y]0^2 = z x^2 times 2 = 2 z x^2
Calculando cada parte:
- [ y^22 ]0^2 = - ( 2 - 0 ) = -2
2 z x^2 - 2
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral0^1 (2 z x^2 - 2) dz = 2 x^2 integral0^1 z , dz - 2 integral0^1 dz :
2 x^2 [ z^22 ]0^1 = 2 x^2 times 12 = x^2
Calculando cada parte:
-2 [z]0^1 = -2 (1 - 0) = -2
x^2 - 2
Então, a integral fica:

Passo 11

Por último, integramos em relação a integral-1^1 ( x^2 - 2 ) dx = integral-1^1 x^2 dx - 2 integral-1^1 dx :
[ x^33 ]-1^1 = ( 13 - (-13) ) = 23
Calculando cada parte:
-2 [x]-1^1 = -2 (1 - (-1)) = -2 times 2 = -4
23 - 4 = -103
Então, a integral final é:

Passo 12

Por último, vamos escolher a terceira ordem de integração: , , . Isso significa que vamos integrar em relação a primeiro, depois e por último .

Passo 13

Escrevemos a integral na ordem escolhida:
integral0^2 integral-1^1 integral0^1 (z x^2 - y) dz , dx , dy

Passo 14

Vamos integrar em relação a integral0^1 (z x^2 - y) dz = x^2 integral0^1 z , dz - y integral0^1 dz :
x^2 [ z^22 ]0^1 = x^2 times 12 = x^22
Calculando cada parte:
- y [z]0^1 = - y (1 - 0) = -y
x^22 - y
Então, a integral fica:

Passo 15

Agora, integramos em relação a integral-1^1 ( x^22 - y ) dx = 12 integral-1^1 x^2 dx - y integral-1^1 dx :
12 [ x^33 ]-1^1 = 12 times 23 = 13
Calculando cada parte:
- y [x]-1^1 = - y (1 - (-1)) = - y times 2 = -2y
13 - 2y
Então, a integral fica:

Passo 16

Por último, integramos em relação a integral0^2 ( 13 - 2y ) dy = 13 integral0^2 dy - 2 integral0^2 y , dy :
13 [y]0^2 = 13 times 2 = 23
Calculando cada parte:
-2 [ y^22 ]0^2 = -2 times 2 = -4
23 - 4 = -103
Então, a integral final é:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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