Calcule
onde
utilizando 3 ordens diferentes de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
onde a região
é definida por
,
e
. Isso tá ligado ao cálculo de volumes e integrais múltiplas em cálculo multivariável. Vamos precisar entender as ordens de integração diferentes e como aplicá-las nessa região retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher a primeira ordem de integração:
,
,
. Isso significa que vamos integrar em relação a
primeiro, depois
e por último
.
Passo 3
Escrevemos a integral na ordem escolhida:
Passo 4
Vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 6
Por último, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral final é:
Passo 7
Agora, vamos escolher a segunda ordem de integração:
,
,
. Isso significa que vamos integrar em relação a
primeiro, depois
e por último
.
Passo 8
Escrevemos a integral na ordem escolhida:
Passo 9
Vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 11
Por último, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral final é:
Passo 12
Por último, vamos escolher a terceira ordem de integração:
,
,
. Isso significa que vamos integrar em relação a
primeiro, depois
e por último
.
Passo 13
Escrevemos a integral na ordem escolhida:
Passo 14
Vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 15
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Passo 16
Por último, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral final é:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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onde
utilizando 3 ordens diferentes de integração.
Defina o conceito de Integral Tripla (Por Somas de Riemann) em paralelepípedos. Defina e esboce os tipos de região (Tipo I, II e III) de integração no espaço, conforme apresentado nos textos de apoio. Nesse item, vocês poderão utilizar o material disponibilizado e também aplicativos e softwares para os esboços, se acharem pertinente.
Ache a solução geral da equação: