Ache a solução geral da seguinte
se
é uma solução (1 ponto).
Passo 1
Estamos lidando com uma equação diferencial não linear de primeira ordem:
Sabemos que
é uma solução particular. Vamos usar essa informação para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Como já temos uma solução particular
, podemos procurar a solução geral na forma:
Aqui,
é uma nova função que vamos determinar. Essa substituição ajuda a simplificar a equação original.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Perceba que vários termos se cancelam:
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: