Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. A gente precisa calcular
onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente duplas, e a gente vai precisar entender como delimitar os limites de integração nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. As curvas
e
se cruzam no primeiro quadrante. Vamos achar os pontos de interseção para saber os limites de
e
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que
varia de 0 a 1, vamos determinar os limites de
para cada
nesse intervalo. Observamos que para cada
entre 0 e 1,
varia de
até
.
Passo 5
Com isso, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
.
Passo 6
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Aplicando os limites de
de
a
, temos:
Passo 8
Agora, substituímos isso na integral externa em relação a
:
Passo 9
Calculando a primeira integral:
Passo 10
Para a segunda integral, fazemos outra substituição. Seja
, então
ou
:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral dupla é
.