Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. A gente precisa calcular
onde é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente duplas, e a gente vai precisar entender como delimitar os limites de integração nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . As curvas e se cruzam no primeiro quadrante. Vamos achar os pontos de interseção para saber os limites de e .

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas e .

Passo 4

Agora que sabemos que varia de 0 a 1, vamos determinar os limites de para cada nesse intervalo. Observamos que para cada entre 0 e 1, varia de até .

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 6

Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 7

Aplicando os limites de de a , temos:

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral externa em relação a :

Passo 9

Calculando a primeira integral:

Passo 10

Para a segunda integral, fazemos outra substituição. Seja , então ou :

Passo 11

Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
b.
Ache a solução geral da seguinte
se é uma solução (1 ponto).
Invertendo a ordem de integração, calcule a integral .
Considere o sistema de equações lineares:
Resolva o sistema utilizando decomposição .