onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. A gente precisa calcular
onde é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente duplas, e a gente vai precisar entender como delimitar os limites de integração nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . As curvas e se cruzam no primeiro quadrante. Vamos achar os pontos de interseção para saber os limites de e .
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas e .
Passo 4
Agora que sabemos que varia de 0 a 1, vamos determinar os limites de para cada nesse intervalo. Observamos que para cada entre 0 e 1, varia de até .
Passo 5
Com isso, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .
Passo 6
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim, a integral fica:
Passo 7
Aplicando os limites de de a , temos:
Passo 8
Agora, substituímos isso na integral externa em relação a :
Passo 9
Calculando a primeira integral:
Passo 10
Para a segunda integral, fazemos outra substituição. Seja , então ou :