Calcule a integral
integral duplaB e^y / x d A,
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas y=x e y=x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. A gente precisa calcular
integral duplaB e^y / x , dA,
onde é a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente duplas, e a gente vai precisar entender como delimitar os limites de integração nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . As curvas e se cruzam no primeiro quadrante. Vamos achar os pontos de interseção para saber os limites de e .

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
x = x^3 Rightarrow x^3 - x = 0 Rightarrow x(x^2 - 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = pm 1
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas e .

Passo 4

Agora que sabemos que varia de 0 a 1, vamos determinar os limites de para cada nesse intervalo. Observamos que para cada entre 0 e 1, varia de até .

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada:
integral0^1 integralx^3^x e^y / x , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 6

Para integrar integral e^u cdot x , du = x e^u + C = x e^y / x + C em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 7

Aplicando os limites de x ( e^x / x - e^x^3 / x ) = x ( e^1 - e^x^2 ) = x (e - e^x^2) de a , temos:

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral externa em relação a integral0^1 x (e - e^x^2) , dx = e integral0^1 x , dx - integral0^1 x e^x^2 , dx :

Passo 9

Calculando a primeira integral:
e integral0^1 x , dx = e [ x^22 ]0^1 = e ( 12 - 0 ) = e2

Passo 10

Para a segunda integral, fazemos outra substituição. Seja integral0^1 x e^x^2 , dx = 12 integral0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e - 1) , então ou :

Passo 11

Substituindo de volta:
e2 - 12 (e - 1) = e2 - e2 + 12 = 12

Resposta

O valor da integral dupla é .

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