Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para relacionar a função
com seus gráficos e curvas de nível. Isso envolve entender como a função se comporta no espaço tridimensional e como suas curvas de nível se parecem no plano xy. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções de duas variáveis, gráficos de superfícies e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função
. Aqui,
atribui um valor a cada par
no plano, calculando o seno de
e
, elevando cada um ao quadrado e somando os resultados. Como o seno varia entre -1 e 1,
e
vão de 0 a 1. Portanto,
varia entre 0 e 2.
Passo 3
Agora, vamos pensar no gráfico dessa função. Como estamos lidando com duas variáveis, o gráfico será uma superfície no espaço 3D. Cada ponto
nessa superfície satisfaz
. Graficamente, essa superfície terá vales e montanhas onde o valor de
muda de acordo com os valores de
e
.
Passo 4
As curvas de nível são linhas no plano xy onde a função tem um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante entre 0 e 2. Para diferentes valores de
, essas curvas vão representar diferentes combinações de
e
que somam até esse valor. Por exemplo:
- Se
, então e , o que ocorre quando e são múltiplos de . - Se
, temos várias combinações onde a soma dos quadrados dos senos dá 1. - Se
, então e .
Essas curvas de nível ajudarão a visualizar como a função se comporta em diferentes zonas do plano.
Resposta
A função
possui um gráfico tridimensional ondulado no espaço, com valores variando entre 0 e 2. Suas curvas de nível no plano xy são conjuntos de pontos onde a soma dos quadrados dos senos de
e
é constante, formando padrões periódicos que mudam conforme o valor escolhido para a constante.
Exercícios relacionados
Ache a solução geral da seguinte
se
é uma solução (1 ponto).
Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
.
Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas
e
.
Invertendo a ordem de integração, calcule a integral
.