Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para relacionar a função com seus gráficos e curvas de nível. Isso envolve entender como a função se comporta no espaço tridimensional e como suas curvas de nível se parecem no plano xy. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções de duas variáveis, gráficos de superfícies e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . Aqui, atribui um valor a cada par no plano, calculando o seno de e , elevando cada um ao quadrado e somando os resultados. Como o seno varia entre -1 e 1, e vão de 0 a 1. Portanto, varia entre 0 e 2.

Passo 3

Agora, vamos pensar no gráfico dessa função. Como estamos lidando com duas variáveis, o gráfico será uma superfície no espaço 3D. Cada ponto nessa superfície satisfaz . Graficamente, essa superfície terá vales e montanhas onde o valor de muda de acordo com os valores de e .

Passo 4

As curvas de nível são linhas no plano xy onde a função tem um valor constante, ou seja, , onde é uma constante entre 0 e 2. Para diferentes valores de , essas curvas vão representar diferentes combinações de e que somam até esse valor. Por exemplo:
  • Se , então e , o que ocorre quando e são múltiplos de .
  • Se , temos várias combinações onde a soma dos quadrados dos senos dá 1.
  • Se , então e .
Essas curvas de nível ajudarão a visualizar como a função se comporta em diferentes zonas do plano.

Resposta

A função possui um gráfico tridimensional ondulado no espaço, com valores variando entre 0 e 2. Suas curvas de nível no plano xy são conjuntos de pontos onde a soma dos quadrados dos senos de e é constante, formando padrões periódicos que mudam conforme o valor escolhido para a constante.

Exercícios relacionados

Ache a solução geral da seguinte
se é uma solução (1 ponto).
Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
.
Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas e .
Invertendo a ordem de integração, calcule a integral .