Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é . Aqui, estamos trabalhando com EDO de segunda ordem, e para resolvê-la, vamos precisar entender sobre soluções homogêneas e particulares, além de como combinar elas para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, assumimos uma solução na forma
e substituímos na equação:
Como
nunca é zero, temos que
, ou seja,
e, portanto,
.
Passo 3
Com as raízes complexas
, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa . Observamos que o lado direito tem dois termos: e
. Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.
Passo 5
Primeiro, para o termo , notamos que já está presente na solução homogênea. Então, para evitar duplicação, assumimos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 6
Substituímos
na equação diferencial e resolvemos para
e
. Após os cálculos, encontramos que
e
. Portanto:
Passo 7
Agora, para o termo
, que é uma função polinomial, assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação diferencial e resolvendo, encontramos que
e
. Assim:
Passo 8
A solução particular total é a soma das soluções particulares encontradas:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial ��:
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Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
Resolva os edos seguintes (4 ponto):
.
Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
.
Ache a solução geral da seguinte
se
é uma solução (1 ponto).