Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é . Aqui, estamos trabalhando com EDO de segunda ordem, e para resolvê-la, vamos precisar entender sobre soluções homogêneas e particulares, além de como combinar elas para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, assumimos uma solução na forma e substituímos na equação:
Como nunca é zero, temos que , ou seja, e, portanto, .

Passo 3

Com as raízes complexas , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa . Observamos que o lado direito tem dois termos: e . Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somá-las.

Passo 5

Primeiro, para o termo , notamos que já está presente na solução homogênea. Então, para evitar duplicação, assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinados.

Passo 6

Substituímos na equação diferencial e resolvemos para e . Após os cálculos, encontramos que e . Portanto:

Passo 7

Agora, para o termo , que é uma função polinomial, assumimos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação diferencial e resolvendo, encontramos que e . Assim:

Passo 8

A solução particular total é a soma das soluções particulares encontradas:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial ��:

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Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
Resolva os edos seguintes (4 ponto):
.
Resolva os edos seguintes ( 3 ponto):
.
Ache a solução geral da seguinte
se é uma solução (1 ponto).