Ache a solução geral do sistema dado.
& c) X^prime=(cc 12 & 0 1 & -12 ) X, X(0)=binom35

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. A gente vai trabalhar com sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz que está multiplicando o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
A = 12 & 0 1 & -12
Nosso objetivo é encontrar os valores próprios ( det(A - lambda I) = 0 ) dessa matriz. Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
det( 12 - lambda & 0 1 & -12 - lambda ) = (12 - lambda)(-12 - lambda) - (0 cdot 1) = 0
Onde (12 - lambda)(-12 - lambda) = 0 é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
lambda1 = 12 e lambda2 = -12
Simplificando:
Isso nos dá dois valores próprios:

Passo 3

Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada 0 & 0 1 & -1 v1 v2 = 0 0 .
Para 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 1 cdot v1 - 1 cdot v2 = 0 :
Substituímos na equação v1 = 1 1 :

$$
1 & 0 1 & 0 v1 v2 = 0 0
1 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 1 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0

v2 = 0 1
$$
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Podemos escolher , então . Portanto, o vetor próprio é:
Para :
Substituímos na equação :

$$

$$
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, . Podemos escolher . Portanto, o vetor próprio é:

Passo 4

Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares de equações diferenciais é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados por exponenciais dos valores próprios:
X(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores que encontramos:
X(t) = C1 e^12 t 1 1 + C2 e^-12 t 0 1

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial 3 5 para encontrar os valores das constantes 3 5 = C1 e^0 1 1 + C2 e^0 0 1 e 3 5 = C1 1 1 + C2 0 1 .
Substituindo C1 = 3 C1 + C2 = 5 na solução geral:
3 + C2 = 5 Rightarrow C2 = 2
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = 3 e^12 t 1 1 + 2 e^-12 t 0 1

Exercícios relacionados