Ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. A gente vai trabalhar com sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz que está multiplicando o vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Nosso objetivo é encontrar os valores próprios (
) dessa matriz. Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Simplificando:
Isso nos dá dois valores próprios:
Passo 3
Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada
.
Para
:
Substituímos na equação
:
$$
$$
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação,
. Podemos escolher
, então
. Portanto, o vetor próprio é:
Para
:
Substituímos na equação
:
$$
$$
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
. Portanto, o vetor próprio é:
Passo 4
Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares de equações diferenciais é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados por exponenciais dos valores próprios:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar os valores das constantes
e
.
Substituindo
na solução geral:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Resposta
A solução geral do sistema é: