Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
& e) X^prime=(rr 3 & -1 -1 & 3 ) X+binom4 e^2 t4 e^4 t, X(0)=binom11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando variação de parâmetros. O enunciado nos dá um sistema onde a derivada de depende de e de uma função não homogênea. A matéria principal aqui é sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, vamos considerar:
X' = 3 & -1 -1 & 3 X
Isso é um sistema linear homogêneo, e para resolver, precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios dessa matriz. Esses valores e vetores nos ajudarão a construir a solução geral da parte homogênea.

Passo 3

Calculamos os valores próprios resolvendo o determinante:
det( 3-lambda & -1 -1 & 3-lambda ) = 0
Resolvendo:
(3-lambda)^2 - (-1)^2 = 0 (3-lambda)^2 - 1 = 0 (3-lambda -1)(3-lambda +1) = 0 (2 - lambda)(4 - lambda) = 0
Portanto, os valores próprios são e .

Passo 4

Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para ( 3 & -1 -1 & 3 - 2 1 & 0 0 & 1 ) v1 v2 = 1 & -1 -1 & 1 v1 v2 = 0 :
1 1
Isso nos dá ( 3 & -1 -1 & 3 - 4 1 & 0 0 & 1 ) v1 v2 = -1 & -1 -1 & -1 v1 v2 = 0 , então um vetor próprio é 1 -1 .
Para :
Aqui, temos , então um vetor próprio é .

Passo 5

Com os valores e vetores próprios, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Xh(t) = c1 e^2t 1 1 + c2 e^4t 1 -1
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular Xp(t) = u1(t) e^2t 1 1 + u2(t) e^4t 1 -1 para o sistema completo usando a variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes e são funções de :
Precisamos determinar e .

Passo 7

Calculamos a derivada de Xp'(t) = u1'(t) e^2t 1 1 + 2 u1(t) e^2t 1 1 + u2'(t) e^4t 1 -1 + 4 u2(t) e^4t 1 -1 :
u1'(t) e^2t 1 1 + u2'(t) e^4t 1 -1 = 0 0
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos dá um sistema para e .

Passo 8

Montamos o sistema usando a condição acima e a parte não homogênea do sistema original:
u1'(t) e^2t + u2'(t) e^4t = 4 e^2t u1'(t) e^2t - u2'(t) e^4t = 4 e^4t
Resolvendo este sistema para 2 u1'(t) e^2t = 4 e^2t + 4 e^4t u1'(t) = 2 + 2 e^2t e 2 u2'(t) e^4t = -4 e^2t + 4 e^4t u2'(t) = -2 e^-2t + 2 :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 9

Integrando u1(t) = integral (2 + 2 e^2t) dt = 2t + e^2t + C1 e u2(t) = integral (-2 e^-2t + 2) dt = e^-2t + 2t + C2 :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar .

Passo 10

Substituímos Xp(t) = (2t + e^2t) e^2t 1 1 + (e^-2t + 2t) e^4t 1 -1 e Xp(t) = (2t e^2t + e^4t) 1 1 + (e^2t + 2t e^4t) 1 -1 na expressão de :
Simplificando:

Passo 11

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp(t)
Substituindo:
X(t) = c1 e^2t 1 1 + c2 e^4t 1 -1 + (2t e^2t + e^4t) 1 1 + (e^2t + 2t e^4t) 1 -1

Passo 12

Aplicamos a condição inicial 1 1 :
X(0) = c1 1 1 + c2 1 -1 + 1 1 + 1 -1 = 1 1
Isso simplifica para:
(c1 + c2 + 2) 1 0 + (c1 - c2) 0 1 = 1 1
Resolvendo, obtemos e .

Resposta

A solução do sistema é:
X(t) = -e^2 t 1 1 + e^4 t 1 -1 + (2 t e^2 t + e^4 t) 1 1 + (e^2 t + 2 t e^4 t) 1 -1
Ou, de forma simplificada:
X(t) = (2 t e^2 t) 1 1 + (2 t e^4 t) 1 -1

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