Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando variação de parâmetros. O enunciado nos dá um sistema onde a derivada de
depende de
e de uma função não homogênea. A matéria principal aqui é sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, vamos considerar:
Isso é um sistema linear homogêneo, e para resolver, precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios dessa matriz. Esses valores e vetores nos ajudarão a construir a solução geral da parte homogênea.
Passo 3
Calculamos os valores próprios resolvendo o determinante:
Resolvendo:
Portanto, os valores próprios são
e
.
Passo 4
Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Isso nos dá
, então um vetor próprio é
.
Para
:
Aqui, temos
, então um vetor próprio é
.
Passo 5
Com os valores e vetores próprios, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para o sistema completo usando a variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes
e
são funções de
:
Precisamos determinar
e
.
Passo 7
Calculamos a derivada de
:
Para simplificar, impomos a condição:
Isso nos dá um sistema para
e
.
Passo 8
Montamos o sistema usando a condição acima e a parte não homogênea do sistema original:
Resolvendo este sistema para
e
:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 9
Integrando
e
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar
.
Passo 10
Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 11
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo:
Passo 12
Aplicamos a condição inicial
:
Isso simplifica para:
Resolvendo, obtemos
e
.
Resposta
A solução do sistema é:
Ou, de forma simplificada: