O potencial elétrico em uma região do plano é dado por
. Determine e grafique o lugar geométrico dos pontos
para os quais o potencial é 30 . Existem pontos
para os quais o potencial é negativo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função que representa o potencial elétrico é
. Precisamos encontrar e desenhar os pontos
onde esse potencial é igual a 30. Além disso, vamos verificar se existem pontos onde o potencial é negativo. Para resolver isso, vamos usar álgebra para manipular a equação e entender o comportamento da função.
Passo 2
Vamos começar igualando a função ao valor dado:
Para resolver essa equação, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por 30 para simplificar:
Podemos reescrever essa equação de forma mais familiar:
Passo 4
A equação
representa uma elipse. Para visualizar melhor, podemos dividir todos os termos por 4:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento
na direção
e 2 na direção
. Agora, vamos considerar se o potencial pode ser negativo. Observamos que o denominador
é sempre positivo, já que é a soma de termos ao quadrado. Como o numerador é 120, positivo, o potencial
nunca será negativo.
Resposta
A elipse definida por
representa os pontos onde o potencial é 30. Não existem pontos
para os quais o potencial é negativo.