O potencial elétrico em uma região do plano é dado por f(x, y) = 120 / (2 x^2 + y^2). Determine e grafique o lugar geométrico dos pontos (x, y) para os quais o potencial é 30 . Existem pontos (x, y) para os quais o potencial é negativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A função que representa o potencial elétrico é . Precisamos encontrar e desenhar os pontos onde esse potencial é igual a 30. Além disso, vamos verificar se existem pontos onde o potencial é negativo. Para resolver isso, vamos usar álgebra para manipular a equação e entender o comportamento da função.

Passo 2

Vamos começar igualando a função ao valor dado:
Para resolver essa equação, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados por 30 para simplificar:
Podemos reescrever essa equação de forma mais familiar:

Passo 4

A equação representa uma elipse. Para visualizar melhor, podemos dividir todos os termos por 4:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento na direção e 2 na direção . Agora, vamos considerar se o potencial pode ser negativo. Observamos que o denominador é sempre positivo, já que é a soma de termos ao quadrado. Como o numerador é 120, positivo, o potencial nunca será negativo.

Resposta

A elipse definida por representa os pontos onde o potencial é 30. Não existem pontos para os quais o potencial é negativo.

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