Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares da forma 4 6 -7 , onde é uma matriz dada. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender de autovalores e autovetores de matrizes, já que eles são essenciais para encontrar a solução de sistemas lineares desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a matriz A - lambda I = 1 - lambda & -12 & -14 1 & 2 - lambda & -3 1 & 1 & -2 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Simplificando essa expressão para encontrar o polinômio característico.
Passo 5
Após simplificar, obtemos o polinômio característico:
-lambda^3 + lambda^2 + 7lambda + 7 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar os autovalores .
Passo 6
Resolvendo a equação cúbica lambda1 = 1, lambda2 = -2, lambda3 = 1 , encontramos os autovalores:
Note que e são iguais, ou seja, temos um autovalor múltiplo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com (A - I) = 0 & -12 & -14 1 & 1 & -3 1 & 1 & -3 , resolvemos v1 = 7 3 1 :
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor:
Passo 8
Para o autovalor (A + 2I) = 3 & -12 & -14 1 & 4 & -3 1 & 1 & 0 , resolvemos v2 = 2 1 1 :
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor:
Passo 9
Como o autovalor (A - I)v3 = v1 implies 0 & -12 & -14 1 & 1 & -3 1 & 1 & -3 v3 = 7 3 1 é múltiplo, precisamos encontrar um autovetor generalizado v3 = 1 0 0 que satisfaz . Resolvendo:
Encontramos:
Passo 10
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor repetido com um autovetor generalizado, a solução será:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + (c3 t + c4) e^lambda1 t v3
Mas, como estamos lidando com sistemas autônomos, simplificamos para: