Ache a solução geral do sistema dado.
& f) X^prime=(rrr 1 & -12 & -14 1 & 2 & -3 1 & 1 & -2 ) X, X(0)=(r 4 6 -7 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares da forma 4 6 -7 , onde é uma matriz dada. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender de autovalores e autovetores de matrizes, já que eles são essenciais para encontrar a solução de sistemas lineares desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a matriz A - lambda I = 1 - lambda & -12 & -14 1 & 2 - lambda & -3 1 & 1 & -2 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) ( (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-3)(1) ) - (-12) ( 1(-2 - lambda) - (-3)(1) ) + (-14) ( 1(1) - (2 - lambda)(1) )
Simplificando essa expressão para encontrar o polinômio característico.

Passo 5

Após simplificar, obtemos o polinômio característico:
-lambda^3 + lambda^2 + 7lambda + 7 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar os autovalores .

Passo 6

Resolvendo a equação cúbica lambda1 = 1, lambda2 = -2, lambda3 = 1 , encontramos os autovalores:
Note que e são iguais, ou seja, temos um autovalor múltiplo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com (A - I) = 0 & -12 & -14 1 & 1 & -3 1 & 1 & -3 , resolvemos v1 = 7 3 1 :
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor:

Passo 8

Para o autovalor (A + 2I) = 3 & -12 & -14 1 & 4 & -3 1 & 1 & 0 , resolvemos v2 = 2 1 1 :
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor:

Passo 9

Como o autovalor (A - I)v3 = v1 implies 0 & -12 & -14 1 & 1 & -3 1 & 1 & -3 v3 = 7 3 1 é múltiplo, precisamos encontrar um autovetor generalizado v3 = 1 0 0 que satisfaz . Resolvendo:
Encontramos:

Passo 10

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor repetido com um autovetor generalizado, a solução será:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + (c3 t + c4) e^lambda1 t v3
Mas, como estamos lidando com sistemas autônomos, simplificamos para:
X(t) = c1 e^t 7 3 1 + c2 e^-2t 2 1 1 + c3 e^t ( t 7 3 1 + 1 0 0 )

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = c1 e^t 7 3 1 + c2 e^-2t 2 1 1 + c3 e^t ( t 7 3 1 + 1 0 0 )
onde são constantes determinadas pela condição inicial.

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