Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma , onde é uma matriz . Nosso objetivo é mostrar que a solução geral desse sistema é uma combinação linear de três soluções específicas envolvendo exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores de matrizes, que são fundamentais para resolver sistemas lineares como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz A - lambda I = -lambda & 6 & 0 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda :
Então, é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para fatorar o polinômio:
Agora, resolvemos :
Então, os autovalores são , , e .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada A - (-1)I = A + I = 1 & 6 & 0 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 , resolvemos 6 -1 -5 .
Para A - (-2)I = A + 2I = 2 & 6 & 0 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 :
-3 1 1
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor A - (-3)I = A + 3I = 3 & 6 & 0 1 & 3 & 1 1 & 1 & 3 .
Para 2 1 1 :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente da solução será do tipo X(t) = c1 6 -1 -5 e^-t + c2 -3 1 1 e^-2t + c3 2 1 1 e^-3t , onde é o autovetor e o correspondente autovalor.
Portanto, a solução geral é:
onde , e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.