Escreva os primeiros termos da série sumn=0^infty(-1)^n x^n para encontrar a e r. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade |r|<1 em termos de x, encontrando os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a série converge.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para trabalhar com a série infinita sumn=0^infty (-1)^n x^n. Vamos identificar os primeiros termos dessa série para achar os valores de a (o primeiro termo) e r (a razão). Depois, vamos calcular a soma da série e descobrir para quais valores de x a série converge, ou seja, para quais x a série faz sentido matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série. A série é definida como sumn=0^infty (-1)^n x^n. Vamos substituir n por valores começando de 0:
  • Para n = 0: (-1)^0 x^0 = 1 cdot 1 = 1
  • Para n = 1: (-1)^1 x^1 = -1 cdot x = -x
  • Para n = 2: (-1)^2 x^2 = 1 cdot x^2 = x^2
  • Para n = 3: (-1)^3 x^3 = -1 cdot x^3 = -x^3
  • E assim por diante.
Então, os primeiros termos são: 1 - x + x^2 - x^3 + dots

Passo 3

Agora, vamos identificar a e r. Em uma série geométrica, temos a forma geral a + ar + ar^2 + ar^3 + dots, onde a é o primeiro termo e r é a razão entre os termos consecutivos.
Comparando com a nossa série 1 - x + x^2 - x^3 + dots, vemos que:
  • O primeiro termo a = 1
  • A razão r é o fator que multiplica cada termo para chegar ao próximo. Observando de um termo para o outro:
    • De 1 para -x, multiplicamos por -x
    • De -x para x^2, multiplicamos por -x
Portanto, a razão r = -x.

Passo 4

Vamos calcular a soma da série. Para uma série geométrica infinita com |r| < 1, a soma é dada por S = a1 - r.
Sabemos que:
  • a = 1
  • r = -x
Substituindo na fórmula:
S = 11 - (-x) = 11 + x
Então, a soma da série é 11 + x.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar para quais valores de x a série converge. Isso depende da condição |r| < 1.
Sabemos que r = -x, então:
|r| = |-x| = |x| < 1
Portanto, a desigualdade |x| < 1 determina para quais valores de x a série converge.

Resposta

A série sumn=0^infty (-1)^n x^n converge para |x| < 1 e sua soma é igual a 11 + x.

Exercícios relacionados

Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.2) limitado pelo cone circular reto de raio a e altura H, com vértice na origem, com eixo coincidente com O z (Pode assumir o resultado para o volume do cone e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 )
Ache a solução geral do sistema dado.
& f) X^prime=(rrr 1 & -12 & -14 1 & 2 & -3 1 & 1 & -2 ) X, X(0)=(r 4 6 -7 )
Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em -\infty, +\infty
dx/dt = 2x + 3y - 7; dy/dt = -x - 2y + 5
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.3) limitado pela esferas x^2 + y^2 + z^2 = 9, pelo plano z = 2 e pelos cones z = raiz(x^2 + y^2) / 3 e z = raiz(x^2 + y^2), com densidade sigma(x, y, z) = z / (x^2 + y^2), em relação ao eixo O z