Escreva os primeiros termos da série para encontrar e . Calcule a soma da série e expresse a desigualdade em termos de , encontrando os valores de para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para trabalhar com a série infinita . Vamos identificar os primeiros termos dessa série para achar os valores de (o primeiro termo) e (a razão). Depois, vamos calcular a soma da série e descobrir para quais valores de a série converge, ou seja, para quais a série faz sentido matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série. A série é definida como . Vamos substituir por valores começando de 0:
Para :
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.
Então, os primeiros termos são:
Passo 3
Agora, vamos identificar e . Em uma série geométrica, temos a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão entre os termos consecutivos.
Comparando com a nossa série , vemos que:
O primeiro termo
A razão é o fator que multiplica cada termo para chegar ao próximo. Observando de um termo para o outro:
De para , multiplicamos por
De para , multiplicamos por
Portanto, a razão .
Passo 4
Vamos calcular a soma da série. Para uma série geométrica infinita com , a soma é dada por .
Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Então, a soma da série é .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar para quais valores de a série converge. Isso depende da condição .
Sabemos que , então:
Portanto, a desigualdade determina para quais valores de a série converge.