Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.2) limitado pelo cone circular reto de raio a e altura H, com vértice na origem, com eixo coincidente com O z (Pode assumir o resultado para o volume do cone e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 )

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que encontrar as coordenadas do centróide de um cone circular reto com raio a e altura H. A base do cone está no plano e o vértice está na origem. Como o problema já disse que as coordenadas x e y do centróide são zero, nosso foco é achar a coordenada z. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centróide para sólidos de revolução, especificamente para um cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centróide é como o “ponto médio” de um objeto, considerando sua forma e distribuição de volume. No caso de um cone, devido à sua simetria em torno do eixo z, sabemos que as coordenadas x e y do centróide serão zero. Então, precisamos apenas calcular a posição ao longo do eixo z.

Passo 3

A fórmula para encontrar a coordenada z do centróide ( ) de um sólido é:
Aqui, é a integral de z sobre todo o volume do cone, e é o volume total do cone.

Passo 4

Sabemos que o volume V de um cone é dado por:
Como a densidade é uniforme, podemos usar esse valor diretamente na fórmula do centróide.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde um elemento de volume do cone é:
Mas, devido à simetria, podemos simplificar a integração. A coordenada z varia de 0 (vértice) a H (base), e o raio r em qualquer z é proporcional a z, já que o cone é reto. Então, .
A integral fica:
Resolvendo a integral:
  1. Integramos em r:
  1. Integramos em z:
  1. Integramos em theta:
Então,

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do centróide:

Resposta

As coordenadas do centróide do cone são .

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