Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.2) limitado pelo cone circular reto de raio e altura , com vértice na origem, com eixo coincidente com (Pode assumir o resultado para o volume do cone e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 )
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que encontrar as coordenadas do centróide de um cone circular reto com raio e altura . A base do cone está no plano e o vértice está na origem. Como o problema já disse que as coordenadas e do centróide são zero, nosso foco é achar a coordenada . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centróide para sólidos de revolução, especificamente para um cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centróide é como o “ponto médio” de um objeto, considerando sua forma e distribuição de volume. No caso de um cone, devido à sua simetria em torno do eixo , sabemos que as coordenadas e do centróide serão zero. Então, precisamos apenas calcular a posição ao longo do eixo .
Passo 3
A fórmula para encontrar a coordenada do centróide () de um sólido é:
Aqui, é a integral de sobre todo o volume do cone, e é o volume total do cone.
Passo 4
Sabemos que o volume de um cone é dado por:
Como a densidade é uniforme, podemos usar esse valor diretamente na fórmula do centróide.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral . Para isso, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde um elemento de volume do cone é:
Mas, devido à simetria, podemos simplificar a integração. A coordenada varia de (vértice) a (base), e o raio em qualquer é proporcional a , já que o cone é reto. Então, .