Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y' x ln x = y, y(3) = ln 81

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a solução particular de um problema de valor inicial usando uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) separável. O enunciado que temos é:
Então, vamos resolver essa EDO passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que temos uma EDO separável. A equação dada é:
Podemos isolar :
Aqui, é a derivada de em relação a . Nosso objetivo é separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando ambos os lados por :
Pronto! Agora temos a equação separada, com de um lado e do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da EDO. Integramos:
A integral à esquerda é direta:
Agora, vamos resolver a integral à direita:
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Substituindo:

Passo 5

Agora, juntamos as integrais que resolvemos:
Podemos simplificar absorvendo as constantes e em uma única constante :
Para resolver para , aplicamos a exponenciação dos dois lados:
Sabendo que e é uma constante que podemos chamar de , temos:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . A condição inicial dada é . Substituindo:
Sabemos que , então:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução particular do problema de valor inicial é:

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