Calcule as integrais triplas para o sólido limitado pelos objetos listados abaixo e para a apontada:
(1.7) esfera , plano e pelos cones e ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular uma integral tripla da função sobre o sólido que é limitado por:
A esfera
O plano
Os cones e
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para integrais envolvendo esferas e cones. Precisamos entender as equações de cada limite no sistema esférico.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dos limites para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
Onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo com o eixo z, e é o ângulo no plano xy.
Passo 3
Vamos converter cada limite:
Esfera :
Em coordenadas esféricas, isso fica , então .
Plano :
Em coordenadas esféricas, . Isso implica .
Cone :
Em coordenadas esféricas, e . Então, , o que simplifica para , ou seja, .
Cone :
Similarmente, , então , ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
varia de a , pois a região é simétrica em torno do eixo z.
varia de a , entre os dois cones.
varia de até , já que a esfera tem raio 3 e está limitada pelo plano .
Passo 5
A função f(rho, phi, theta) = (rho^2)^32 = rho^3 em coordenadas esféricas fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaU f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral5cosphi^3 rho^3 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta