Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.7) esfera x^2+y^2+z^2=9, plano z=5 e pelos cones z=raizx^2+y^2 e z=2 raizx^2+y^2; f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^32

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular uma integral tripla da função sobre o sólido que é limitado por:
  • A esfera
  • O plano
  • Os cones e
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para integrais envolvendo esferas e cones. Precisamos entender as equações de cada limite no sistema esférico.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dos limites para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo com o eixo z, e é o ângulo no plano xy.

Passo 3

Vamos converter cada limite:
  1. Esfera :
    Em coordenadas esféricas, isso fica , então .
  2. Plano :
    Em coordenadas esféricas, . Isso implica .
  3. Cone :
    Em coordenadas esféricas, e . Então, , o que simplifica para , ou seja, .
  4. Cone :
    Similarmente, , então , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a , pois a região é simétrica em torno do eixo z.
  • varia de a , entre os dois cones.
  • varia de até , já que a esfera tem raio 3 e está limitada pelo plano .

Passo 5

A função f(rho, phi, theta) = (rho^2)^32 = rho^3 em coordenadas esféricas fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaU f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral5cosphi^3 rho^3 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral5cosphi^3 rho^5 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em integral5cosphi^3 rho^5 , drho = rho^66 |5cosphi^3 = 3^66 - (5cosphi)^66 = 7296 - 156256 cos^6phi primeiro:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral dupla:
integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 ( 7296 - 156256 cos^6phi ) sinphi , dphi , dtheta
Factorizamos a constante 16 integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 ( 729 - 15625cos^6phi ) sinphi , dphi , dtheta :

Passo 9

Integrando em 16 integral0^2pi [ 729 integralarctan(12)^pi4 sinphi , dphi - 15625 integralarctan(12)^pi4 sinphicos^6phi , dphi ] dtheta :
Primeiro, vamos separar as integrais:
integral sinphi , dphi = -cosphi
Para a primeira integral:
- cosphi |arctan(12)^pi4 = -cos(pi4) + cos(arctan(12)) = -raiz22 + 2raiz5
Então:
integral sinphicos^6phi , dphi = -integral u^-6 , du = u^-55 = 15 cos^5phi
Para a segunda integral, vamos fazer uma substituição:
Deixe 15 cos^5phi |arctan(12)^pi4 = 15 cos^5(pi4) - 15 cos^5(arctan(12)) = 15 (raiz22)^5 - 15 (2raiz5)^5 , então 15 (raiz22)^5 = 325 raiz2 e 15 (2raiz5)^5 = (raiz5)^5160 . Isso transforma a integral em:
Então:
Calculando:

Passo 10

Finalmente, integrando em :
A integral em é simplesmente multiplicar por , já que não há dependência de .

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral tripla vale aproximadamente íóáé.

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Determine se a série sumn=1^infty sech^2 n converge ou diverge. Justifique sua resposta.

Teoria e exemplos

Para quais valores de a, se houver algum, as séries nos Exercícios 41 e 42 convergem?
41. sumn=1^infty(an+2-1n+4)
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
dr/dt = -2 tr, r(0) = ro
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y' x ln x = y, y(3) = ln 81
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
9 x + 4 y dy/dx = 0