Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Teoria e exemplos
Para quais valores de
, se houver algum, as séries nos Exercícios 41 e 42 convergem?
41.
41.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é séries infinitas e, mais especificamente, testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função sech se comporta e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função sech. A função hiperbólica secante é definida por:
Então,
é simplesmente essa função ao quadrado para cada
.
Passo 3
Observamos que, conforme
aumenta,
cresce muito rápido, então
tende a zero. Assim, para grandes valores de
:
Portanto:
Isso mostra que os termos da série decaem exponencialmente.
Passo 4
Agora, vamos comparar a nossa série com uma série geométrica. Sabemos que a série geométrica:
converge se
. No nosso caso, temos algo parecido com
, que pode ser escrito como
.
Passo 5
Vamos aplicar o Teste da Comparação. Se conseguirmos mostrar que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos de uma série geométrica convergente, então a nossa série também converge.
Como
e
, podemos comparar com a série geométrica:
Sabemos que essa série geométrica converge, já que
.
Passo 6
Portanto, como os termos da nossa série
são menores ou iguais aos termos de uma série geométrica convergente, pelo Teste da Comparação, a nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.5) esfera e pelos cones
e
(1.5) esfera
Calcule as integrais triplas
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(1.7) esfera , plano
e pelos cones
e
;
(1.7) esfera
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