Determine se a série sumn=1^infty sech^2 n converge ou diverge. Justifique sua resposta.

Teoria e exemplos

Para quais valores de a, se houver algum, as séries nos Exercícios 41 e 42 convergem?
41. sumn=1^infty(an+2-1n+4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é séries infinitas e, mais especificamente, testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função sech se comporta e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função sech. A função hiperbólica secante é definida por:
sech , x = 2e^x + e^-x
Então, é simplesmente essa função ao quadrado para cada .

Passo 3

Observamos que, conforme sech , n approx 2 e^-n aumenta, sech^2 n approx 4 e^-2n cresce muito rápido, então tende a zero. Assim, para grandes valores de :
Portanto:
Isso mostra que os termos da série decaem exponencialmente.

Passo 4

Agora, vamos comparar a nossa série com uma série geométrica. Sabemos que a série geométrica:
sumn=1^infty r^n
converge se . No nosso caso, temos algo parecido com , que pode ser escrito como .

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Comparação. Se conseguirmos mostrar que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos de uma série geométrica convergente, então a nossa série também converge.
Como sumn=1^infty 4 e^-2n e , podemos comparar com a série geométrica:
Sabemos que essa série geométrica converge, já que .

Passo 6

Portanto, como os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos de uma série geométrica convergente, pelo Teste da Comparação, a nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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