Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-pi * sen(pi x) * sinh(y) + cos(pi x) * cosh(y) * d y/d x = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Este exercício envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o conceito de exatidão. Precisamos verificar se a EDO é exata. Se não for, encontraremos um fator integrante para tornar a equação exata e, então, resolveremos a EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO:
Comparando com a equação dada:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se forem iguais, a equação é exata.
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 5

Para encontrar a solução geral da EDO, integraremos em relação a :
Substituindo :

Passo 6

Integrando em relação a :
Portanto:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:

Passo 8

Assim, a função fica:
A solução geral da EDO é dada por , ou seja:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
e^(2 x) y' = 2(x + 2) y^3, y(0) = 1 / raiz(5)
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
x y' = 1/2 y^2 + y
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
y y' + 36 x = 0
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y * y' + 4 * x = 0, y(0) = 3