Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Este exercício envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o conceito de exatidão. Precisamos verificar se a EDO é exata. Se não for, encontraremos um fator integrante para tornar a equação exata e, então, resolveremos a EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO:
Comparando com a equação dada:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se forem iguais, a equação é exata.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 4
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 5
Para encontrar a solução geral da EDO, integraremos
em relação a
:
Substituindo
:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Portanto:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Passo 8
Assim, a função
fica:
A solução geral da EDO é dada por
, ou seja:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
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