Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
e precisamos encontrar a solução geral usando a técnica de EDO Separável. Isso significa que vamos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para isolar o termo que envolve a derivada
. A equação dada é:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Passo 3
Agora, vamos expressar
de forma explícita. Lembrando que
, então substituímos na equação:
Passo 4
O próximo passo é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
e multiplicar por
:
Passo 5
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
Passo 6
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, vamos isolar
para obter a solução geral da equação:
Onde
é uma nova constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano e pelo hemisfério
, em relação ao seu eixo, com densidade constante
(7.2) limitado pelo plano