Se lim x a f(x)=L=lim x a g(x), então lim x a h(x)= L
Mesmo que esta função g(x) não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular lim x infty g(x) sabendo que, para todo x>1,
(x-1)^2<(x^2-1) g(x)<(x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando tende ao infinito, usando uma desigualdade fornecida. A matéria envolvida aqui é o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Achadura), que nos ajuda a encontrar limites de funções que estão “presas” entre outras duas funções cujo limite conhecemos. Vamos precisar manipular as desigualdades dadas e aplicar esse teorema para achar o limite desejado.

Passo 2

Primeiro, a gente olha a desigualdade que foi dada para todo (x-1)^2 < (x^2-1)g(x) < (x+1)^2 :
Nosso objetivo é isolar nessa expressão para poder aplicar o teorema.

Passo 3

Para isolar (x-1)^2x^2-1 < g(x) < (x+1)^2x^2-1 , vamos dividir toda a desigualdade por . Como , é positivo, então não precisamos inverter os sinais da desigualdade:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades quando limx to infty (x-1)^2x^2-1 tende ao infinito.
Primeiro, para a parte da esquerda:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
Expandindo o numerador:
limx to infty x^2 - 2x + 1x^2-1 = limx to infty 1 - 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 - 0 + 01 - 0 = 1
Então:

Passo 5

Agora, para a parte da direita:
limx to infty (x+1)^2x^2-1
Expandindo o numerador:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Então:
limx to infty x^2 + 2x + 1x^2-1 = limx to infty 1 + 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 + 0 + 01 - 0 = 1

Passo 6

Como vimos, tanto o limite da esquerda quanto o da direita são iguais a 1. Pelo Teorema do Sanduíche, se limx to infty g(x) = 1 está “entre” essas duas funções que têm limite 1 quando tende ao infinito, então:

Resposta

limx to infty g(x) = 1

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