Se , então
Mesmo que esta função não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular sabendo que, para todo ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando tende ao infinito, usando uma desigualdade fornecida. A matéria envolvida aqui é o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Achadura), que nos ajuda a encontrar limites de funções que estão “presas” entre outras duas funções cujo limite conhecemos. Vamos precisar manipular as desigualdades dadas e aplicar esse teorema para achar o limite desejado.
Passo 2
Primeiro, a gente olha a desigualdade que foi dada para todo :
Nosso objetivo é isolar nessa expressão para poder aplicar o teorema.
Passo 3
Para isolar , vamos dividir toda a desigualdade por . Como , é positivo, então não precisamos inverter os sinais da desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades quando tende ao infinito.
Primeiro, para a parte da esquerda:
Expandindo o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, para a parte da direita:
Expandindo o numerador:
Então:
Passo 6
Como vimos, tanto o limite da esquerda quanto o da direita são iguais a 1. Pelo Teorema do Sanduíche, se está “entre” essas duas funções que têm limite 1 quando tende ao infinito, então: