Ache varepsilon1.
a) f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2, x in [1, 3] ; y = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de para a função , onde está no intervalo e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas e aproximações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse símbolo geralmente representa um termo de erro ou resíduo na aproximação de uma função. Quando fazemos uma aproximação linear (ou de primeira ordem) de uma função, nos mostra o quão longe a aproximação está da função real.

Passo 3

Vamos focar na função . Como é uma constante, podemos simplificar a função considerando apenas . Assim, a função fica:
Agora, temos com .

Passo 4

Para encontrar , vamos usar a aproximação linear da função em torno de um ponto . A fórmula geral da aproximação linear é:
Aqui, é a derivada de em relação a no ponto .

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Agora, vamos escolher um ponto no intervalo para fazer a aproximação. Vamos escolher .
Calculando e :

Passo 6

Agora, queremos aproximar usando a aproximação linear em torno de :
Mas, vamos calcular o valor real de para encontrar :
Então, o erro é:

Resposta

O valor de é 1.

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