Use derivadas de transformadas, ou seja, L{t^n f(t)} = (-1)^n d^n/ds^n F(s), nos problemas indicados:
4.8. L{cosh(t)/e^t}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de . Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que envolve derivadas. Basicamente, essa propriedade nos ajuda a transformar funções que são multiplicadas pelo tempo . Vamos precisar entender essa propriedade e aplicá-la para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é uma ferramenta que transforma uma função do tempo t para uma função na variável s, o que facilita resolver equações diferenciais. A propriedade que vamos usar diz que:
onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t).

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos transformar é . Podemos reescrever essa função de uma forma que fique mais fácil de aplicar a propriedade. Sabemos que , então:
Agora, temos a função .

Passo 4

Vamos separar a transformada de Laplace dessa soma. A transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada termo separadamente:
Sabemos que e, usando a propriedade de deslocamento (ou taxa de decaimento), . Então:

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos:
Para simplificar, podemos colocar tudo sobre um denominador comum:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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