Use derivadas de transformadas, ou seja, , nos problemas indicados:
4.8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de . Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que envolve derivadas. Basicamente, essa propriedade nos ajuda a transformar funções que são multiplicadas pelo tempo . Vamos precisar entender essa propriedade e aplicá-la para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é uma ferramenta que transforma uma função do tempo para uma função na variável , o que facilita resolver equações diferenciais. A propriedade que vamos usar diz que:
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos transformar é . Podemos reescrever essa função de uma forma que fique mais fácil de aplicar a propriedade. Sabemos que , então:
Agora, temos a função .

Passo 4

Vamos separar a transformada de Laplace dessa soma. A transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada termo separadamente:
Sabemos que e, usando a propriedade de deslocamento (ou taxa de decaimento), . Então:

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos:
Para simplificar, podemos colocar tudo sobre um denominador comum:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Use o Teorema da Translação: em que , para calcular.
3.2.
Ache .
a)
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.2.
Resolva as seguintes desigualdades: b)