Use derivadas de transformadas, ou seja,
, nos problemas indicados:
4.8.
4.8.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de
. Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que envolve derivadas. Basicamente, essa propriedade nos ajuda a transformar funções que são multiplicadas pelo tempo
. Vamos precisar entender essa propriedade e aplicá-la para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
para uma função na variável
, o que facilita resolver equações diferenciais. A propriedade que vamos usar diz que:
onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos transformar é
. Podemos reescrever essa função de uma forma que fique mais fácil de aplicar a propriedade. Sabemos que
, então:
Agora, temos a função
.
Passo 4
Vamos separar a transformada de Laplace dessa soma. A transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada termo separadamente:
Sabemos que
e, usando a propriedade de deslocamento (ou taxa de decaimento),
. Então:
Passo 5
Agora, vamos juntar os termos:
Para simplificar, podemos colocar tudo sobre um denominador comum:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Translação:
em que
, para calcular.
3.2.
3.2.
Ache
.
a)
a)
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.2.
5.2.
Resolva as seguintes desigualdades: b)