Ache o vetor que tem:
(I)a mesma direção e sentido de a e duas vezes o módulo de a;
(II)mesma direção de a, sentido oposto e um terço do módulo de a;
(III)mesma direção e sentido de a e módulo 2 .
a=14 i-15 j+6 k

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre vetores! A gente tem o vetor a = 14,i - 15,j + 6,k e precisamos encontrar outros vetores que atendem a três condições diferentes relacionadas à direção, sentido e módulo desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de vetores por escalares.

Passo 2

Parte I: Queremos um vetor que tenha a mesma direção e sentido de a, mas com o módulo duas vezes maior.
Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos um vetor por um número positivo, ele mantém a mesma direção e sentido. Se multiplicarmos por um escalar 2, o novo vetor terá o dobro do tamanho (módulo).
Então, calculamos:
2,a = 2 times (14,i - 15,j + 6,k) = 28,i - 30,j + 12,k

Passo 3

Parte II: Agora, queremos um vetor na mesma direção de a, mas com sentido oposto e um terço do módulo.
Multiplicar o vetor por um número negativo inverte o sentido. Para ter um terço do módulo, multiplicamos por -13.
Então, calculamos:
-13,a = -13 times (14,i - 15,j + 6,k) = -143,i + 5,j - 2,k

Passo 4

Parte III: Por fim, queremos um vetor na mesma direção e sentido de a, mas com módulo igual a 2.
Primeiro, vamos encontrar um vetor unitário na direção de a. Para isso, dividimos a pelo seu módulo.
O módulo de a é:
|a| = raiz14^2 + (-15)^2 + 6^2 = raiz196 + 225 + 36 = raiz457
Então, o vetor unitário é:
a = a|a| = 14,i - 15,j + 6,kraiz457
Agora, para ter módulo 2, multiplicamos pelo escalar 2:
2,a = 2raiz457 times (14,i - 15,j + 6,k) = 28raiz457,i - 30raiz457,j + 12raiz457,k

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições são:
I. 28,i - 30,j + 12,k
II. -143,i + 5,j - 2,k
III. 28raiz457,i - 30raiz457,j + 12raiz457,k

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