Os planos e se interceptam na reta dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta ?
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois planos, e , e queremos descobrir qual das alternativas representa a reta onde esses dois planos se interceptam. Isso envolve um pouco de geometria analítica, principalmente sobre como planos se cruzam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção de dois planos. Quando dois planos se cortam, a interseção é sempre uma reta, a não ser que sejam paralelos ou coincidentes. Aqui, vamos assumir que eles se interceptam em uma reta .
Passo 3
Para encontrar uma equação da reta , precisamos encontrar um conjunto de equações que satisfaçam as duas equações dos planos ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações formado por e :
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre as variáveis , e . Primeiro, da primeira equação, podemos isolar :
Passo 5
Agora, substituímos na segunda equação:
Passo 6
Vamos isolar nessa equação:
Passo 7
Agora, temos e em termos de . Podemos usar como parâmetro para expressar a reta . Vamos chamar , onde é um parâmetro real. Então:
Passo 8
Portanto, as equações paramétricas da reta são:
Resposta
A equação da reta r: l x = dfract2 - dfrac34 y = -t z = t é: