Os planos pi1: y+z=0 e pi2: 4 x+y-z+3=0 se interceptam na reta r dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta r ?
b) r:ly+z=0 4 x-y-z+3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois planos, e , e queremos descobrir qual das alternativas representa a reta onde esses dois planos se interceptam. Isso envolve um pouco de geometria analítica, principalmente sobre como planos se cruzam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção de dois planos. Quando dois planos se cortam, a interseção é sempre uma reta, a não ser que sejam paralelos ou coincidentes. Aqui, vamos assumir que eles se interceptam em uma reta .

Passo 3

Para encontrar uma equação da reta y + z = 0 4x + y - z + 3 = 0 , precisamos encontrar um conjunto de equações que satisfaçam as duas equações dos planos ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações formado por e :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre as variáveis y = -z , e . Primeiro, da primeira equação, podemos isolar :

Passo 5

Agora, substituímos 4x + (-z) - z + 3 = 0 4x - 2z + 3 = 0 na segunda equação:

Passo 6

Vamos isolar 4x = 2z - 3 x = 2z - 34 x = z2 - 34 nessa equação:

Passo 7

Agora, temos x = t2 - 34 y = -t z = t e em termos de . Podemos usar como parâmetro para expressar a reta . Vamos chamar , onde é um parâmetro real. Então:

Passo 8

Portanto, as equações paramétricas da reta x = t2 - 34 y = -t z = t são:

Resposta

A equação da reta r: l x = dfract2 - dfrac34 y = -t z = t é:

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