Sejam e pontos dados.
(a) Escreva as equações vetorial e paramétricas para a reta determinada pelos pontos e , e obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto pertence a esta reta ?
(b) Escreva as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice do triângulo . Lembre-se que a mediana relativa ao vértice do triângulo é a reta passando por e pelo ponto médio entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve vetores e geometria analítica no espaço. Temos os pontos , , e .
No item (a), precisamos escrever as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelos pontos e . Depois, vamos transformar isso na forma simétrica e verificar se o ponto está nessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta . Para isso, subtraímos as coordenadas de e :
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 3:
Esse é o nosso vetor diretor.
Passo 3
Agora, vamos usar o ponto para escrever a equação vetorial da reta :
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o parâmetro .
Passo 4
Vamos agora escrever as equações paramétricas da reta . Para isso, separamos as componentes:
Essas equações descrevem cada coordenada de um ponto na reta em função de .
Passo 5
Para obter a forma simétrica das equações da reta x + 53 = y - 2-3 = z - 3-3 , isolamos em cada equação paramétrica:
Essa é a forma simétrica da reta .
Passo 6
Agora, vamos verificar se o ponto 3 = -5 + 3t implies 3t = 8 implies t = 83 pertence à reta 1 = 2 - 3t implies -3t = -1 implies t = 13 . Para isso, substituímos as coordenadas de nas equações paramétricas e resolvemos para :
Para :
Para :
Como os valores de não são iguais (), o ponto não pertence à reta .
Passo 7
No item (b), queremos escrever as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice M = ( 3 + (-5)2, 6 + 22, -7 + 32 ) = ( -22, 82, -42 ) = (-1,4,-2) do triângulo . A mediana passa por e pelo ponto médio de .
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de :
Passo 8
Agora, determinamos o vetor diretor da mediana, que é o vetor de CM = M - C = (-1 - 4, 4 - (-7), -2 - (-6)) = (-5, 11,4) a :
Esse é o nosso vetor diretor para a mediana.
Passo 9
Usando o ponto m = C + sCM = (4,-7,-6) + s(-5,11,4) e o vetor diretor , escrevemos a equação vetorial da mediana:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da mediana.
Passo 10
Por fim, separamos as componentes para obter as equações paramétricas da mediana:
x = 4 - 5s y = -7 + 11s z = -6 + 4s
Essas são as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice do triângulo .
Resposta
(a)
Equação vetorial: x = -5 + 3t y = 2 - 3t z = 3 - 3t
Equações paramétricas: