Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente, equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral da equação e, depois, usar as condições iniciais pra determinar as constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos por e obtemos:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral será:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, vamos usar :
Agora, derivamos para usar a segunda condição :
Aplicando :
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: