Ache a solucao narticular de: y'' - y' - 2y = 10 cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . O que precisamos aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. A matéria que estamos usando é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Método dos Coeficientes a Determinar. Vamos precisar aplicar esse método para achar a solução específica que resolve a equação.

Passo 2

Primeiro, a gente resolve a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, montamos a equação característica: . Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes e . Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte particular da solução. Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui, e são constantes que a gente vai determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações para e :

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Então, .

Resposta

A solução particular é:

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