Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . O que precisamos aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. A matéria que estamos usando é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Método dos Coeficientes a Determinar. Vamos precisar aplicar esse método para achar a solução específica que resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, a gente resolve a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, montamos a equação característica: . Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes e . Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte particular da solução. Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui, e são constantes que a gente vai determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original :
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações para e :
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira: