Seja
. Existe algum número real
tal que
? Considere a função
. A função
assume valor máximo? Porquê?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos saber se existe algum número real
que faz
, ou seja, se a função cruza o eixo x. Além disso, consideramos a função
, definida por
, e queremos saber se
atinge um valor máximo no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como análise de funções polinomiais e propriedades de continuidade e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se existe algum número real
tal que
. Para isso, podemos usar o Teorema de Bolzano, que nos diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Oops, não temos sinais opostos aqui. Vamos tentar outros valores. Por exemplo,
:
Ainda positivo. Vamos tentar
:
Agora sim,
e
. Temos sinais opostos entre
e
.
Passo 4
Segundo o Teorema de Bolzano, como
é contínua (já que é um polinômio) e muda de sinal entre
e
, existe pelo menos um número real
no intervalo
tal que
.
Passo 5
Agora, vamos analisar se a função
assume um valor máximo no intervalo
. Como
é um polinômio de grau ímpar, sabemos que em
ela não tem um máximo global, mas estamos considerando apenas o intervalo fechado
.
Passo 6
Pelo Teorema de Weierstrass, toda função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu valor máximo e mínimo. Já que
é contínua em
, ela necessariamente terá um valor máximo nesse intervalo.
Resposta
Existe pelo menos um número real
tal que
, e a função
assume um valor máximo no intervalo
porque é contínua nesse intervalo fechado.
Exercícios relacionados
Seja
um número real. Defina precisamente o símbolo
.
Mostre, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
.
Ache uma solucao particular de
Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo