Seja g(x) = x^3 - 4x + 8. Existe algum número real p tal que g(p)=0 ? Considere a função f:[0,10] -> R, f(x)=g(x). A função f assume valor máximo? Porquê?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos saber se existe algum número real que faz , ou seja, se a função cruza o eixo x. Além disso, consideramos a função , definida por , e queremos saber se atinge um valor máximo no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como análise de funções polinomiais e propriedades de continuidade e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se existe algum número real tal que . Para isso, podemos usar o Teorema de Bolzano, que nos diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.

Passo 3

Vamos calcular e :
Oops, não temos sinais opostos aqui. Vamos tentar outros valores. Por exemplo, :
Ainda positivo. Vamos tentar :
Agora sim, e . Temos sinais opostos entre e .

Passo 4

Segundo o Teorema de Bolzano, como é contínua (já que é um polinômio) e muda de sinal entre e , existe pelo menos um número real no intervalo tal que .

Passo 5

Agora, vamos analisar se a função assume um valor máximo no intervalo . Como é um polinômio de grau ímpar, sabemos que em ela não tem um máximo global, mas estamos considerando apenas o intervalo fechado .

Passo 6

Pelo Teorema de Weierstrass, toda função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu valor máximo e mínimo. Já que é contínua em , ela necessariamente terá um valor máximo nesse intervalo.

Resposta

Existe pelo menos um número real tal que , e a função assume um valor máximo no intervalo porque é contínua nesse intervalo fechado.

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(b) { y'' - 2y' + y = 0; y(0) = 0; y'(0) = 1 }