São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo . Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras. ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções dadas: , e . Precisamos descobrir se essas funções são linearmente independentes ou dependentes no intervalo usando o Wronskiano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dependência linear e aprender a calcular o Wronskiano de três funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que funções são linearmente independentes. Basicamente, se nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras, elas são independentes. Se for possível expressar uma das funções como uma combinação das demais, elas são dependentes.
Passo 3
Para determinar isso, vamos calcular o Wronskiano dessas três funções. O Wronskiano é um determinante construído a partir das funções e suas derivadas, e ele nos ajuda a verificar a independência linear.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora, montamos a matriz do Wronskiano com as funções e suas derivadas:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular o determinante do Wronskiano:
Calculando os menores:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 7
O Wronskiano é diferente de zero para todo no intervalo . Isso significa que as funções são linearmente independentes no intervalo considerado.
Resposta
As funções , e são linearmente independentes no intervalo .