De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA,
dos homens e
das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;
pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a porcentagem de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã. Sabemos que 25,2% dos homens e 23,6% das mulheres nunca tomam café da manhã. A gente vai tirar uma amostra de 200 homens e 200 mulheres, totalizando 400 pessoas. O que precisamos descobrir é a probabilidade de que pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente distribuições binomial e normal, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número médio esperado de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã na amostra.
Para os homens:
Para as mulheres:
Então, o total médio esperado é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão para o número total de pessoas que nunca tomam café da manhã. Como estamos lidando com duas variáveis binomiais independentes, o desvio padrão total é a raiz quadrada da soma dos desvios padrão de cada grupo.
Primeiro, calculamos a variância de cada grupo:
Para os homens:
Para as mulheres:
Então, a variância total é:
E o desvio padrão total é:
Passo 4
Vamos agora usar a aproximação normal para calcular a probabilidade de pelo menos 110 pessoas nunca tomarem café da manhã. Primeiro, encontramos o valor z correspondente a 110.
A fórmula para o valor z é:
onde
,
, e
.
Então,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z ser maior ou igual a 1,443. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade de z ser menor que 1,443 é aproximadamente 0,925.
Então, a probabilidade de z ser maior que 1,443 é:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 110 das 400 pessoas nunca tomem café da manhã é de aproximadamente 7,5%.
Exercícios relacionados
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Mostre que
Mostre que
A função de probabilidade conjunta de
e
é dada por
a) Encontre as funções de probabilidade marginais de
e
;
(Meyer, 1983: C08E03) O número de navios petroleiros, digamos
, que chegam a determinada refinaria, cada dia, tem distribuição de Poisson, com parâmetro
. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto.
(d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
(d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
Sejam
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
As variáveis
são independentes?