De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, 25,2 % dos homens e 23,6 % das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a porcentagem de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã. Sabemos que 25,2% dos homens e 23,6% das mulheres nunca tomam café da manhã. A gente vai tirar uma amostra de 200 homens e 200 mulheres, totalizando 400 pessoas. O que precisamos descobrir é a probabilidade de que pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente distribuições binomial e normal, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número médio esperado de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã na amostra.
Para os homens:
muhomens = nhomens times phomens = 200 times 0,252 = 50,4
Para as mulheres:
mumulheres = nmulheres times pmulheres = 200 times 0,236 = 47,2
Então, o total médio esperado é:
mutotal = muhomens + mumulheres = 50,4 + 47,2 = 97,6

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão para o número total de pessoas que nunca tomam café da manhã. Como estamos lidando com duas variáveis binomiais independentes, o desvio padrão total é a raiz quadrada da soma dos desvios padrão de cada grupo.
Primeiro, calculamos a variância de cada grupo:
Para os homens:
sigma^2homens = nhomens times phomens times (1 - phomens) = 200 times 0,252 times 0,748 = 37,702
Para as mulheres:
sigma^2mulheres = nmulheres times pmulheres times (1 - pmulheres) = 200 times 0,236 times 0,764 = 36,131
Então, a variância total é:
sigma^2total = 37,702 + 36,131 = 73,833
E o desvio padrão total é:
sigmatotal = raiz73,833 approx 8,59

Passo 4

Vamos agora usar a aproximação normal para calcular a probabilidade de pelo menos 110 pessoas nunca tomarem café da manhã. Primeiro, encontramos o valor z correspondente a 110.
A fórmula para o valor z é:
z = X - musigma
onde z = 110 - 97,68,59 approx 12,48,59 approx 1,443 , , e .
Então,

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z ser maior ou igual a 1,443. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade de z ser menor que 1,443 é aproximadamente 0,925.
Então, a probabilidade de z ser maior que 1,443 é:
P(Z >= 1,443) = 1 - 0,925 = 0,075

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 110 das 400 pessoas nunca tomem café da manhã é de aproximadamente 7,5%.

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