De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a porcentagem de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã. Sabemos que 25,2% dos homens e 23,6% das mulheres nunca tomam café da manhã. A gente vai tirar uma amostra de 200 homens e 200 mulheres, totalizando 400 pessoas. O que precisamos descobrir é a probabilidade de que pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente distribuições binomial e normal, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número médio esperado de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã na amostra.
Para os homens:
Para as mulheres:
Então, o total médio esperado é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão para o número total de pessoas que nunca tomam café da manhã. Como estamos lidando com duas variáveis binomiais independentes, o desvio padrão total é a raiz quadrada da soma dos desvios padrão de cada grupo.
Primeiro, calculamos a variância de cada grupo:
Para os homens:
Para as mulheres:
Então, a variância total é:
E o desvio padrão total é:

Passo 4

Vamos agora usar a aproximação normal para calcular a probabilidade de pelo menos 110 pessoas nunca tomarem café da manhã. Primeiro, encontramos o valor z correspondente a 110.
A fórmula para o valor z é:
onde , , e .
Então,

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z ser maior ou igual a 1,443. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade de z ser menor que 1,443 é aproximadamente 0,925.
Então, a probabilidade de z ser maior que 1,443 é:

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 110 das 400 pessoas nunca tomem café da manhã é de aproximadamente 7,5%.

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