O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre chamadas que passam por uma torre de celular em uma hora. Sabemos que o número total de chamadas, , segue uma distribuição de Poisson com média . Cada chamada pode ser local com probabilidade ou internacional/interurbana com probabilidade . Queremos mostrar que o número de chamadas locais, , e o de internacionais/interurbanas, , são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias e , respectivamente. Para isso, vamos provar que a probabilidade conjunta de e pode ser decomposta de uma certa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que e são parte do total de chamadas . Então, a probabilidade de termos e ao mesmo tempo é a mesma que ter , dado que o total , multiplicado pela probabilidade de ter exatamente chamadas no total. Isso é como dizer que para ter um certo número de chamadas locais e internacionais, primeiro precisa ter aquele total de chamadas.

Passo 3

Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, estamos usando a regra da probabilidade condicional, que basicamente diz que a probabilidade conjunta pode ser escrita como o produto da probabilidade condicional e a probabilidade marginal.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte dessa equação. Primeiro, a probabilidade de ter chamadas no total é dada pela distribuição de Poisson:
Isso vem diretamente da definição da distribuição de Poisson.

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a probabilidade condicional . Dado que sabemos que há chamadas no total, a distribuição de (chamadas locais) segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Ou seja:
E como é simplesmente o restante das chamadas, a probabilidade conjunta condicional é igual a essa expressão.

Passo 6

Agora, multiplicamos as duas partes que calculamos:
Simplificando isso, percebemos que , então:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que e são independentes, já que a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.

Resposta

Portanto, mostramos que e são variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de médias e , respectivamente.

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