O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre chamadas que passam por uma torre de celular em uma hora. Sabemos que o número total de chamadas,
, segue uma distribuição de Poisson com média
. Cada chamada pode ser local com probabilidade
ou internacional/interurbana com probabilidade
. Queremos mostrar que o número de chamadas locais,
, e o de internacionais/interurbanas,
, são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias
e
, respectivamente. Para isso, vamos provar que a probabilidade conjunta de
e
pode ser decomposta de uma certa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
e
são parte do total de chamadas
. Então, a probabilidade de termos
e
ao mesmo tempo é a mesma que ter
,
dado que o total
, multiplicado pela probabilidade de ter exatamente
chamadas no total. Isso é como dizer que para ter um certo número de chamadas locais e internacionais, primeiro precisa ter aquele total de chamadas.
Passo 3
Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, estamos usando a regra da probabilidade condicional, que basicamente diz que a probabilidade conjunta pode ser escrita como o produto da probabilidade condicional e a probabilidade marginal.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte dessa equação. Primeiro, a probabilidade de ter
chamadas no total é dada pela distribuição de Poisson:
Isso vem diretamente da definição da distribuição de Poisson.
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar a probabilidade condicional
. Dado que sabemos que há
chamadas no total, a distribuição de
(chamadas locais) segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Ou seja:
E como
é simplesmente o restante das chamadas, a probabilidade conjunta condicional é igual a essa expressão.
Passo 6
Agora, multiplicamos as duas partes que calculamos:
Simplificando isso, percebemos que
, então:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que
e
são independentes, já que a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.
Resposta
Portanto, mostramos que
e
são variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de médias
e
, respectivamente.