O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de média lambda>0. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade p de ser local e 1-p de ser internacional ou interurbana. Seja N1 o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e N2 o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que N1 e N2 são independentes, e têm distribuição de Poisson de média lambda p e lambda(1-p), respectivamente, siga os passos abaixo.
Mostre que
P(N1=i, N2=j)=P(N1=i, N2=j mid N=i+j) P(N=i+j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre chamadas que passam por uma torre de celular em uma hora. Sabemos que o número total de chamadas, N, segue uma distribuição de Poisson com média lambda. Cada chamada pode ser local com probabilidade p ou internacional/interurbana com probabilidade 1-p. Queremos mostrar que o número de chamadas locais, N1, e o de internacionais/interurbanas, N2, são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias lambda p e lambda(1-p), respectivamente. Para isso, vamos provar que a probabilidade conjunta de N1 = i e N2 = j pode ser decomposta de uma certa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que N1 e N2 são parte do total de chamadas N. Então, a probabilidade de termos N1 = i e N2 = j ao mesmo tempo é a mesma que ter N1 = i, N2 = j dado que o total N = i + j, multiplicado pela probabilidade de ter exatamente i + j chamadas no total. Isso é como dizer que para ter um certo número de chamadas locais e internacionais, primeiro precisa ter aquele total de chamadas.

Passo 3

Matematicamente, isso fica assim:
P(N1=i, N2=j) = P(N1=i, N2=j mid N=i+j) times P(N=i+j)
Aqui, estamos usando a regra da probabilidade condicional, que basicamente diz que a probabilidade conjunta pode ser escrita como o produto da probabilidade condicional e a probabilidade marginal.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte dessa equação. Primeiro, a probabilidade de ter N = i + j chamadas no total é dada pela distribuição de Poisson:
P(N=i+j) = e^-lambda lambda^i+j(i+j)!
Isso vem diretamente da definição da distribuição de Poisson.

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a probabilidade condicional P(N1=i, N2=j mid N=i+j). Dado que sabemos que há i + j chamadas no total, a distribuição de N1 (chamadas locais) segue uma distribuição binomial com parâmetros n = i + j e p. Ou seja:
P(N1=i mid N=i+j) = binomi+ji p^i (1-p)^j
E como N2 = j é simplesmente o restante das chamadas, a probabilidade conjunta condicional é igual a essa expressão.

Passo 6

Agora, multiplicamos as duas partes que calculamos:
P(N1=i, N2=j) = binomi+ji p^i (1-p)^j times e^-lambda lambda^i+j(i+j)!
Simplificando isso, percebemos que binomi+ji = (i+j)!i! j!, então:
P(N1=i, N2=j) = e^-lambda lambda^i+ji! j! p^i (1-p)^j
Podemos reescrever isso como:
P(N1=i) times P(N2=j) = ( e^-lambda p (lambda p)^ii! ) times ( e^-lambda (1-p) (lambda (1-p))^jj! )
Isso mostra que N1 e N2 são independentes, já que a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.

Resposta

Portanto, mostramos que N1 e N2 são variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de médias lambda p e lambda(1-p), respectivamente.

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