A função de probabilidade conjunta de e é dada por
a) Encontre as funções de probabilidade marginais de e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e . Isso significa que a tabela nos dá as probabilidades de cada combinação de valores que e podem assumir juntos. O que precisamos fazer agora é encontrar as funções de probabilidade marginais de e , ou seja, as probabilidades de cada variável individualmente, sem considerar a outra.
Para isso, vamos precisar somar as probabilidades apropriadas da tabela conjunta. Vamos seguir passo a passo para não se perder!

Passo 2

Vamos começar encontrando a função de probabilidade marginal de , que vamos chamar de . Isso significa que queremos descobrir a probabilidade de cada valor de , independente de .
Olha só a tabela:
Para , somamos todas as probabilidades onde :
Convertendo para oitavos para facilitar a soma:
Para , fazemos o mesmo:
Convertendo para oitavos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função de probabilidade marginal de , que vamos chamar de . Aqui, queremos a probabilidade de cada valor de , independente de .
Usando a tabela novamente:
Para :
Para :
Convertendo para quartos:

Resposta

As funções de probabilidade marginais são:

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O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
a) Mostre que
Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por o valor observado neste lançamento.
Verifique se e são independentes.
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
Mostre que
De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;