(Meyer, 1983: C08E03) O número de navios petroleiros, digamos
, que chegam a determinada refinaria, cada dia, tem distribuição de Poisson, com parâmetro
. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto.
(d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
(d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o número de navios petroleiros que chegam a uma refinaria por dia. Esse número (
) segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Ou seja, em média, chegam 2 petroleiros por dia. O porto pode atender até 3 petroleiros diariamente; se vier mais que isso, os extras têm que ir para outro porto.
O que a gente precisa descobrir aqui é qual é o número mais provável de petroleiros que chegam por dia. Em termos matemáticos, estamos procurando o modo da distribuição de Poisson com
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sabendo que esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente.
A fórmula da probabilidade de exatamente
eventos (neste caso, petroleiros) ocorrerem é:
Onde:
-
é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718), -
é a taxa média de ocorrência (neste caso, 2), -
é o fatorial de .
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades para diferentes valores de
(número de petroleiros) usando
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Analisando as probabilidades calculadas:
Percebe-se que as maiores probabilidades são para
e
, ambas com aproximadamente 27,07%. Isso significa que é igualmente provável chegar 1 ou 2 petroleiros por dia.
Resposta
O número mais provável de petroleiros que chegam por dia é 1 ou 2.
Exercícios relacionados
De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA,
dos homens e
das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;
pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Mostre que
Mostre que
Sejam
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
As variáveis
são independentes?
A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;
a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;