(Meyer, 1983: C08E03) O número de navios petroleiros, digamos N, que chegam a determinada refinaria, cada dia, tem distribuição de Poisson, com parâmetro lambda=2. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto.
(d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o número de navios petroleiros que chegam a uma refinaria por dia. Esse número ( N) segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 2. Ou seja, em média, chegam 2 petroleiros por dia. O porto pode atender até 3 petroleiros diariamente; se vier mais que isso, os extras têm que ir para outro porto.
O que a gente precisa descobrir aqui é qual é o número mais provável de petroleiros que chegam por dia. Em termos matemáticos, estamos procurando o modo da distribuição de Poisson com lambda = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sabendo que esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente.
A fórmula da probabilidade de exatamente k eventos (neste caso, petroleiros) ocorrerem é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718),
  • lambda é a taxa média de ocorrência (neste caso, 2),
  • k! é o fatorial de k.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades para diferentes valores de k (número de petroleiros) usando lambda = 2.
  1. Para k = 0:
P(0) = e^-2 cdot 2^00! = e^-2 cdot 11 approx 0,1353
  1. Para k = 1:
P(1) = e^-2 cdot 2^11! = e^-2 cdot 21 approx 0,2707
  1. Para k = 2:
P(2) = e^-2 cdot 2^22! = e^-2 cdot 42 approx 0,2707
  1. Para k = 3:
P(3) = e^-2 cdot 2^33! = e^-2 cdot 86 approx 0,1804
  1. Para k = 4:
P(4) = e^-2 cdot 2^44! = e^-2 cdot 1624 approx 0,0902

Passo 4

Analisando as probabilidades calculadas:
  • P(0) approx 0,1353
  • P(1) approx 0,2707
  • P(2) approx 0,2707
  • P(3) approx 0,1804
  • P(4) approx 0,0902
Percebe-se que as maiores probabilidades são para k = 1 e k = 2, ambas com aproximadamente 27,07%. Isso significa que é igualmente provável chegar 1 ou 2 petroleiros por dia.

Resposta

O número mais provável de petroleiros que chegam por dia é 1 ou 2.

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