Sejam
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
As variáveis
são independentes?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias,
e
, com uma função densidade conjunta dada por:
O conteúdo envolvido aqui é a independência de variáveis aleatórias. Para verificar se
e
são independentes, precisamos comparar a função densidade conjunta
com o produto das funções densidade marginais de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função densidade marginal de
, que é
. Para isso, integramos
em relação a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de
, que é
. Para isso, integramos
em relação a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos as funções densidade marginais
e
, vamos verificar se o produto delas é igual à função densidade conjunta
:
Observando a função densidade conjunta original:
Vemos que:
Resposta
Sim, as variáveis aleatórias
e
são independentes, pois a função densidade conjunta
é igual ao produto das funções densidade marginais
e
.
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, que chegam a determinada refinaria, cada dia, tem distribuição de Poisson, com parâmetro
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dos homens e
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a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;
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Dada uma variável aleatória contínua e positiva
com densidade
, definimos a taxa de risco
de
por
onde
é a função distribuição acumulada de
.
Se representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante
. Ou seja,
Se
Considere agora variáveis
positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por
, e defina
. Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de em termos das funções distribuição acumuladas de
;
a) Encontre a função distribuição acumulada de