Sejam
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
As variáveis
são independentes?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias,
e
, com uma função densidade conjunta dada por:
O conteúdo envolvido aqui é a independência de variáveis aleatórias. Para verificar se
e
são independentes, precisamos comparar a função densidade conjunta
com o produto das funções densidade marginais de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função densidade marginal de
, que é
. Para isso, integramos
em relação a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de
, que é
. Para isso, integramos
em relação a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos as funções densidade marginais
e
, vamos verificar se o produto delas é igual à função densidade conjunta
:
Observando a função densidade conjunta original:
Vemos que:
Resposta
Sim, as variáveis aleatórias
e
são independentes, pois a função densidade conjunta
é igual ao produto das funções densidade marginais
e
.