Sejam X, Y variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=x e^-(x+y), x>0, y>0
As variáveis X, Y são independentes?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, f(x, y) = x e^-(x + y), x > 0, , y > 0 e , com uma função densidade conjunta dada por:
O conteúdo envolvido aqui é a independência de variáveis aleatórias. Para verificar se e são independentes, precisamos comparar a função densidade conjunta com o produto das funções densidade marginais de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função densidade marginal de fX(x) = integral0^infty f(x, y) , dy = integral0^infty x e^-(x + y) , dy , que é fX(x) = x e^-x integral0^infty e^-y , dy . Para isso, integramos integral0^infty e^-y , dy = 1 em relação a fX(x) = x e^-x, x > 0 :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de fY(y) = integral0^infty f(x, y) , dx = integral0^infty x e^-(x + y) , dx , que é fY(y) = e^-y integral0^infty x e^-x , dx . Para isso, integramos integral0^infty x e^-x , dx = 1 em relação a fY(y) = e^-y, y > 0 :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos as funções densidade marginais fX(x) cdot fY(y) = (x e^-x) cdot (e^-y) = x e^-(x + y) e f(x, y) = x e^-(x + y) , vamos verificar se o produto delas é igual à função densidade conjunta f(x, y) = fX(x) cdot fY(y) :
Observando a função densidade conjunta original:
Vemos que:

Resposta

Sim, as variáveis aleatórias e são independentes, pois a função densidade conjunta é igual ao produto das funções densidade marginais e .

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