Sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
As variáveis são independentes?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, e , com uma função densidade conjunta dada por:
O conteúdo envolvido aqui é a independência de variáveis aleatórias. Para verificar se e são independentes, precisamos comparar a função densidade conjunta com o produto das funções densidade marginais de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função densidade marginal de , que é . Para isso, integramos em relação a :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de , que é . Para isso, integramos em relação a :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos as funções densidade marginais e , vamos verificar se o produto delas é igual à função densidade conjunta :
Observando a função densidade conjunta original:
Vemos que:

Resposta

Sim, as variáveis aleatórias e são independentes, pois a função densidade conjunta é igual ao produto das funções densidade marginais e .

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