De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA,
dos homens e
das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre a probabilidade de comparar quantas mulheres e homens nunca tomam café da manhã. A questão usa estatísticas de saúde e pede pra gente calcular essa probabilidade usando a aproximação normal para distribuições binomiais. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial e como aproximar isso com uma distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Homens: 200 amostras, 25,2% nunca tomam café da manhã.
- Mulheres: 200 amostras, 23,6% nunca tomam café da manhã.
Como estamos lidando com o número de pessoas que nunca tomam café da manhã, podemos modelar isso com uma distribuição binomial para homens e outra para mulheres.
Passo 3
A distribuição binomial é usada para contar o número de sucessos em uma série de experimentos independentes. Aqui, um “sucesso” seria uma pessoa que nunca toma café da manhã.
Para a binomial, os parâmetros são:
- n: número de tentativas (no caso, 200 para ambos).
- p: probabilidade de sucesso (25,2% para homens e 23,6% para mulheres).
Passo 4
Agora, para facilitar os cálculos, vamos usar a aproximação normal. A regra geral é que quando n é grande e np(1-p) é maior que 5, podemos aproximar a binomial com uma normal.
Vamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) para ambos:
Para os homens:
- μₕ = nₕ * pₕ = 200 * 0.252 = 50,4
- σₕ = √(nₕ * pₕ * (1 - pₕ)) = √(200 * 0.252 * 0.748) ≈ √(37,7472) ≈ 6,146
Para as mulheres:
- μₘ = nₘ * pₘ = 200 * 0.236 = 47,2
- σₘ = √(nₘ * pₘ * (1 - pₘ)) = √(200 * 0.236 * 0.764) ≈ √(36,0208) ≈ 6,000
Passo 5
Queremos a probabilidade de que o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens. Ou seja, queremos P(Xₘ ≥ Xₕ).
Como Xₘ e Xₕ são aproximadamente normais, podemos considerar a diferença D = Xₘ - Xₕ também como uma variável normal.
Vamos calcular a média e o desvio padrão de D:
- μ_D = μₘ - μₕ = 47,2 - 50,4 = -3,2
- σ_D = √(σₘ² + σₕ²) = √(6,000² + 6,146²) ≈ √(36 + 37,75) ≈ √73,75 ≈ 8,588
Passo 6
Queremos P(D ≥ 0), ou seja, a probabilidade de que Xₘ - Xₕ ≥ 0.
Vamos padronizar essa variável para usar a tabela da normal padrão:
- Z = (0 - μ_D) / σ_D = (0 - (-3,2)) / 8,588 ≈ 3,2 / 8,588 ≈ 0,372
Agora, buscamos P(Z ≥ 0,372). Usando a tabela da normal padrão, P(Z ≤ 0,372) ≈ 0,6475.
Então, P(Z ≥ 0,372) = 1 - 0,6475 = 0,3525.
Resposta
A probabilidade de que o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Argumente que
Argumente que
Dada uma variável aleatória contínua e positiva
com densidade
, definimos a taxa de risco
de
por
onde
é a função distribuição acumulada de
.
Se representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante
. Ou seja,
Se
Considere agora variáveis
positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por
, e defina
. Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de em termos das funções distribuição acumuladas de
;
a) Encontre a função distribuição acumulada de
Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
Mostre que se
então
são independentes.
Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade
. Seja
o total de baterias funcionando após
dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de
a) Encontre a função de probabilidade de