De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre a probabilidade de comparar quantas mulheres e homens nunca tomam café da manhã. A questão usa estatísticas de saúde e pede pra gente calcular essa probabilidade usando a aproximação normal para distribuições binomiais. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial e como aproximar isso com uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Homens: 200 amostras, 25,2% nunca tomam café da manhã.
  • Mulheres: 200 amostras, 23,6% nunca tomam café da manhã.
Como estamos lidando com o número de pessoas que nunca tomam café da manhã, podemos modelar isso com uma distribuição binomial para homens e outra para mulheres.

Passo 3

A distribuição binomial é usada para contar o número de sucessos em uma série de experimentos independentes. Aqui, um “sucesso” seria uma pessoa que nunca toma café da manhã.
Para a binomial, os parâmetros são:
  • n: número de tentativas (no caso, 200 para ambos).
  • p: probabilidade de sucesso (25,2% para homens e 23,6% para mulheres).

Passo 4

Agora, para facilitar os cálculos, vamos usar a aproximação normal. A regra geral é que quando n é grande e np(1-p) é maior que 5, podemos aproximar a binomial com uma normal.
Vamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) para ambos:
Para os homens:
  • μₕ = nₕ * pₕ = 200 * 0.252 = 50,4
  • σₕ = √(nₕ * pₕ * (1 - pₕ)) = √(200 * 0.252 * 0.748) ≈ √(37,7472) ≈ 6,146
Para as mulheres:
  • μₘ = nₘ * pₘ = 200 * 0.236 = 47,2
  • σₘ = √(nₘ * pₘ * (1 - pₘ)) = √(200 * 0.236 * 0.764) ≈ √(36,0208) ≈ 6,000

Passo 5

Queremos a probabilidade de que o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens. Ou seja, queremos P(Xₘ ≥ Xₕ).
Como Xₘ e Xₕ são aproximadamente normais, podemos considerar a diferença D = Xₘ - Xₕ também como uma variável normal.
Vamos calcular a média e o desvio padrão de D:
  • μ_D = μₘ - μₕ = 47,2 - 50,4 = -3,2
  • σ_D = √(σₘ² + σₕ²) = √(6,000² + 6,146²) ≈ √(36 + 37,75) ≈ √73,75 ≈ 8,588

Passo 6

Queremos P(D ≥ 0), ou seja, a probabilidade de que Xₘ - Xₕ ≥ 0.
Vamos padronizar essa variável para usar a tabela da normal padrão:
  • Z = (0 - μ_D) / σ_D = (0 - (-3,2)) / 8,588 ≈ 3,2 / 8,588 ≈ 0,372
Agora, buscamos P(Z ≥ 0,372). Usando a tabela da normal padrão, P(Z ≤ 0,372) ≈ 0,6475.
Então, P(Z ≥ 0,372) = 1 - 0,6475 = 0,3525.

Resposta

A probabilidade de que o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens é aproximadamente .

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