O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Argumente que
Argumente que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma torre de celular que recebe chamadas durante uma hora, e o número total de chamadas,
, segue uma distribuição de Poisson com média
. Cada chamada pode ser local com probabilidade
ou internacional/interurbana com probabilidade
. Queremos mostrar que o número de chamadas locais (
) e o número de chamadas internacionais/interurbanas (
) são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias
e
, respectivamente. Para isso, precisamos argumentar que:
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
segue uma distribuição de Poisson com média
. Isso significa que a probabilidade de ocorrer exatamente
chamadas é dada por:
Aqui,
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 3
Agora, cada chamada pode ser de dois tipos: local ou internacional/interurbana. A probabilidade de uma chamada ser local é
, e a de ser internacional/interurbana é
. Isso configura um processo binomial onde, dado um número total de chamadas, a distribuição das chamadas em cada categoria segue uma distribuição binomial.
Passo 4
Vamos considerar que, dado um total de
chamadas, queremos saber a probabilidade de exatamente
serem locais e
serem internacionais/interurbanas. Essa probabilidade é dada pela fórmula da distribuição binomial:
Aqui,
é o coeficiente binomial que conta o número de maneiras de escolher
chamadas locais dentre
chamadas totais.
Passo 5
Essa expressão mostra que, dado um número fixo de chamadas
, a distribuição conjunta de
e
segue uma distribuição binomial. Isso implica que
e
são dependentes condicionalmente a
, mas, devido à propriedade da distribuição de Poisson de eventos independentes,
e
são mutuamente independentes e seguem distribuições de Poisson separadas.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Isso confirma que
e
são independentes e seguem distribuições de Poisson com médias
e
, respectivamente.