O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de média lambda>0. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade p de ser local e 1-p de ser internacional ou interurbana. Seja N1 o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e N2 o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que N1 e N2 são independentes, e têm distribuição de Poisson de média lambda p e lambda(1-p), respectivamente, siga os passos abaixo.
Argumente que
P(N1=i, N2=j mid N=i+j)=binomi+ji p^i(1-p)^j

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma torre de celular que recebe chamadas durante uma hora, e o número total de chamadas, P(N1=i, N2=j mid N=i+j)=binomi+ji p^i(1-p)^j , segue uma distribuição de Poisson com média . Cada chamada pode ser local com probabilidade ou internacional/interurbana com probabilidade . Queremos mostrar que o número de chamadas locais ( ) e o número de chamadas internacionais/interurbanas ( ) são independentes e também seguem distribuições de Poisson com médias e , respectivamente. Para isso, precisamos argumentar que:
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que P(N = n) = e^-lambda lambda^nn! segue uma distribuição de Poisson com média . Isso significa que a probabilidade de ocorrer exatamente chamadas é dada por:
Aqui, é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

Agora, cada chamada pode ser de dois tipos: local ou internacional/interurbana. A probabilidade de uma chamada ser local é , e a de ser internacional/interurbana é . Isso configura um processo binomial onde, dado um número total de chamadas, a distribuição das chamadas em cada categoria segue uma distribuição binomial.

Passo 4

Vamos considerar que, dado um total de P(N1 = i, N2 = j mid N = i + j) = binomi + ji p^i (1-p)^j chamadas, queremos saber a probabilidade de exatamente serem locais e serem internacionais/interurbanas. Essa probabilidade é dada pela fórmula da distribuição binomial:
Aqui, é o coeficiente binomial que conta o número de maneiras de escolher chamadas locais dentre chamadas totais.

Passo 5

Essa expressão mostra que, dado um número fixo de chamadas , a distribuição conjunta de e segue uma distribuição binomial. Isso implica que e são dependentes condicionalmente a , mas, devido à propriedade da distribuição de Poisson de eventos independentes, e são mutuamente independentes e seguem distribuições de Poisson separadas.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
P(N1=i, N2=j mid N=i+j) = binomi+ji p^i (1-p)^j
Isso confirma que e são independentes e seguem distribuições de Poisson com médias e , respectivamente.

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