Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade . Seja o total de baterias funcionando após dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que funciona enquanto pelo menos 2 das 3 baterias estão carregadas. Cada bateria tem um tempo de carga com uma função de densidade de probabilidade . O que queremos aqui é encontrar a função de probabilidade de , que representa o número total de baterias funcionando após dias. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, já que as baterias atuam de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a probabilidade de uma única bateria estar funcionando após dias. Isso significa que o tempo de carga dessa bateria é maior que . Matemáticamente, isso é representado por:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Então, ao avaliar de até :

Passo 4

Agora que temos a probabilidade de uma bateria estar funcionando após dias, que é , podemos modelar o número de baterias funcionando como uma variável aleatória binomial. Isso porque cada bateria atua de forma independente.
A distribuição binomial é dada por:
Onde:
  • (número de baterias)
  • é o número de baterias funcionando

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula da distribuição binomial, temos:
Para , essa fórmula nos dá a probabilidade de exatamente baterias estarem funcionando após dias.

Resposta

A função de probabilidade de é dada por:

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Um vetor aleatório é dito uniformemente distribuído em uma região limitada do plano se para alguma constante , sua densidade conjunta é dada por
á
Mostre que se então são independentes.
De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
Encontre a função de probabilidade conjunta de e ;
Um vetor aleatório é dito uniformemente distribuído em uma região limitada do plano se para alguma constante , sua densidade conjunta é dada por
á
a) Mostre que área da região ;