Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade
. Seja
o total de baterias funcionando após
dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de
a) Encontre a função de probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que funciona enquanto pelo menos 2 das 3 baterias estão carregadas. Cada bateria tem um tempo de carga com uma função de densidade de probabilidade
. O que queremos aqui é encontrar a função de probabilidade de
, que representa o número total de baterias funcionando após
dias. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, já que as baterias atuam de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a probabilidade de uma única bateria estar funcionando após
dias. Isso significa que o tempo de carga dessa bateria é maior que
. Matemáticamente, isso é representado por:
Onde
.
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Então, ao avaliar de
até
:
Passo 4
Agora que temos a probabilidade de uma bateria estar funcionando após
dias, que é
, podemos modelar o número de baterias funcionando
como uma variável aleatória binomial. Isso porque cada bateria atua de forma independente.
A distribuição binomial é dada por:
Onde:
-
(número de baterias) -
é o número de baterias funcionando -
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula da distribuição binomial, temos:
Para
, essa fórmula nos dá a probabilidade de exatamente
baterias estarem funcionando após
dias.
Resposta
A função de probabilidade de
é dada por:
Exercícios relacionados
Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
Mostre que se
então
são independentes.
De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA,
dos homens e
das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
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com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
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o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Encontre a função de probabilidade conjunta de e
;
Encontre a função de probabilidade conjunta de
Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
a) Mostre que
área da região
;