Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade f(t)=t e^-t, t>0. Seja N(t) o total de baterias funcionando após t dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de N(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que funciona enquanto pelo menos 2 das 3 baterias estão carregadas. Cada bateria tem um tempo de carga com uma função de densidade de probabilidade . O que queremos aqui é encontrar a função de probabilidade de , que representa o número total de baterias funcionando após dias. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, já que as baterias atuam de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a probabilidade de uma única bateria estar funcionando após P(T > t) = integralt^infty f(s) , ds dias. Isso significa que o tempo de carga dessa bateria é maior que . Matemáticamente, isso é representado por:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
P(T > t) = integralt^infty s e^-s , ds
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja integral s e^-s , ds = -s e^-s + integral e^-s , ds = -s e^-s - e^-s + C e P(T > t) = [ -s e^-s - e^-s ]t^infty = 0 - ( -t e^-t - e^-t ) = (t + 1) e^-t . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Então, ao avaliar de até :

Passo 4

Agora que temos a probabilidade de uma bateria estar funcionando após P(N(t) = k) = binomnk [p(t)]^k [1 - p(t)]^n - k dias, que é , podemos modelar o número de baterias funcionando como uma variável aleatória binomial. Isso porque cada bateria atua de forma independente.
A distribuição binomial é dada por:
Onde:
  • (número de baterias)
  • é o número de baterias funcionando

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula da distribuição binomial, temos:
P(N(t) = k) = binom3k [(t + 1) e^-t]^k [1 - (t + 1) e^-t]^3 - k
Para , essa fórmula nos dá a probabilidade de exatamente baterias estarem funcionando após dias.

Resposta

A função de probabilidade de P(N(t) = k) = binom3k [(t + 1) e^-t]^k [1 - (t + 1) e^-t]^3 - k, para k = 0, 1, 2, 3 é dada por:

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