Um vetor aleatório (X, Y) é dito uniformemente distribuído em uma região limitada R subset R^2 do plano se para alguma constante c in R, sua densidade conjunta é dada por
f(x, y)= c, & se (x, y) in R 0, & caso contrário á
Mostre que se R=[a, b] times[c, d] então X, Y são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um vetor aleatório (X, Y) que é distribuído de forma uniforme em uma região limitada R no plano. A gente precisa mostrar que, se R for um retângulo definido por [a, b] times [c, d], então as variáveis X e Y são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de densidade de probabilidade e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição uniforme nessa região R = [a, b] times [c, d]. Isso quer dizer que a densidade conjunta f(x, y) é constante dentro desse retângulo e zero fora. Ou seja,
f(x, y) = c, & se (x, y) in R 0, & caso contrário á

Passo 3

Para encontrar o valor de c, precisamos lembrar que a integral da densidade conjunta sobre toda a região deve ser igual a 1:
integrala^b integralc^d c , dy , dx = 1
Calculando a integral:
c times (b - a) times (d - c) = 1 c = 1(b - a)(d - c)
Então, a densidade conjunta fica:
f(x, y) = 1(b - a)(d - c), & se (x, y) in R 0, & caso contrário á

Passo 4

Agora, vamos lembrar o que significa as variáveis X e Y serem independentes. Duas variáveis são independentes se a densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais dessas variáveis. Em outras palavras,
f(x, y) = fX(x) cdot fY(y)

Passo 5

Vamos encontrar as densidades marginais fX(x) e fY(y). A densidade marginal de X é obtida integrando a densidade conjunta em relação a y:
fX(x) = integralc^d f(x, y) , dy = integralc^d 1(b - a)(d - c) , dy = 1b - a
Similarmente, a densidade marginal de Y é:
fY(y) = integrala^b f(x, y) , dx = integrala^b 1(b - a)(d - c) , dx = 1d - c

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as densidades marginais:
fX(x) cdot fY(y) = 1b - a cdot 1d - c = 1(b - a)(d - c)

Passo 7

Comparando com a densidade conjunta que encontramos, vemos que:
f(x, y) = fX(x) cdot fY(y)
Isso confirma que X e Y são independentes.

Resposta

Portanto, quando R = [a, b] times [c, d], as variáveis X e Y são independentes.

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