Um vetor aleatório é dito uniformemente distribuído em uma região limitada do plano se para alguma constante , sua densidade conjunta é dada por
á
Mostre que se então são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um vetor aleatório que é distribuído de forma uniforme em uma região limitada no plano. A gente precisa mostrar que, se for um retângulo definido por , então as variáveis e são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de densidade de probabilidade e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição uniforme nessa região . Isso quer dizer que a densidade conjunta é constante dentro desse retângulo e zero fora. Ou seja,
á

Passo 3

Para encontrar o valor de , precisamos lembrar que a integral da densidade conjunta sobre toda a região deve ser igual a 1:
Calculando a integral:
Então, a densidade conjunta fica:
á

Passo 4

Agora, vamos lembrar o que significa as variáveis e serem independentes. Duas variáveis são independentes se a densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais dessas variáveis. Em outras palavras,

Passo 5

Vamos encontrar as densidades marginais e . A densidade marginal de é obtida integrando a densidade conjunta em relação a :
Similarmente, a densidade marginal de é:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as densidades marginais:

Passo 7

Comparando com a densidade conjunta que encontramos, vemos que:
Isso confirma que e são independentes.

Resposta

Portanto, quando , as variáveis e são independentes.

Exercícios relacionados

De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
Argumente que
Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade . Seja o total de baterias funcionando após dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
Encontre a função de probabilidade conjunta de e ;