Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
Mostre que se
então
são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um vetor aleatório
que é distribuído de forma uniforme em uma região limitada
no plano. A gente precisa mostrar que, se
for um retângulo definido por
, então as variáveis
e
são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de densidade de probabilidade e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição uniforme nessa região
. Isso quer dizer que a densidade conjunta
é constante dentro desse retângulo e zero fora. Ou seja,
Passo 3
Para encontrar o valor de
, precisamos lembrar que a integral da densidade conjunta sobre toda a região deve ser igual a 1:
Calculando a integral:
Então, a densidade conjunta fica:
Passo 4
Agora, vamos lembrar o que significa as variáveis
e
serem independentes. Duas variáveis são independentes se a densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais dessas variáveis. Em outras palavras,
Passo 5
Vamos encontrar as densidades marginais
e
. A densidade marginal de
é obtida integrando a densidade conjunta em relação a
:
Similarmente, a densidade marginal de
é:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as densidades marginais:
Passo 7
Comparando com a densidade conjunta que encontramos, vemos que:
Isso confirma que
e
são independentes.
Resposta
Portanto, quando
, as variáveis
e
são independentes.