Um vetor aleatório
é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma constante
, sua densidade conjunta é dada por
Mostre que se
então
são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um vetor aleatório
que é distribuído de forma uniforme em uma região limitada
no plano. A gente precisa mostrar que, se
for um retângulo definido por
, então as variáveis
e
são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de densidade de probabilidade e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição uniforme nessa região
. Isso quer dizer que a densidade conjunta
é constante dentro desse retângulo e zero fora. Ou seja,
Passo 3
Para encontrar o valor de
, precisamos lembrar que a integral da densidade conjunta sobre toda a região deve ser igual a 1:
Calculando a integral:
Então, a densidade conjunta fica:
Passo 4
Agora, vamos lembrar o que significa as variáveis
e
serem independentes. Duas variáveis são independentes se a densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais dessas variáveis. Em outras palavras,
Passo 5
Vamos encontrar as densidades marginais
e
. A densidade marginal de
é obtida integrando a densidade conjunta em relação a
:
Similarmente, a densidade marginal de
é:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as densidades marginais:
Passo 7
Comparando com a densidade conjunta que encontramos, vemos que:
Isso confirma que
e
são independentes.
Resposta
Portanto, quando
, as variáveis
e
são independentes.
Exercícios relacionados
De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA,
dos homens e
das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Argumente que
Argumente que
Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade
. Seja
o total de baterias funcionando após
dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de
a) Encontre a função de probabilidade de
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e têm distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
Encontre a função de probabilidade conjunta de e
;
Encontre a função de probabilidade conjunta de