Dada uma variável aleatória contínua e positiva T com densidade f(t), t>0, definimos a taxa de risco lambdaT(t) de T por
lambdaT(t)=f(t)1-F(t),
onde F(t)=P(T <= t) é a função distribuição acumulada de T.
Se T representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante t. Ou seja,
P(tt) approx lambdaT(t) dt
Considere agora variáveis T1, cdots, Tn positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por f1(t), cdots, fn(t), e defina W=min T1, cdots, Tn. Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de W em termos das funções distribuição acumuladas de T1, cdots, Tn;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a função distribuição acumulada (FDA) de , onde são variáveis aleatórias contínuas e positivas, independentes, com funções densidade e funções distribuição acumulada . Para resolver isso, vamos precisar entender como combinamos as distribuições de variáveis independentes para encontrar a distribuição do mínimo delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função distribuição acumulada FW(w) = P(W <= w) = P(min T1, dots, Tn <= w) de é a probabilidade de que seja menor ou igual a . Como é o mínimo de várias variáveis, isso significa que pelo menos uma delas deve ser menor ou igual a .
Matematicamente, podemos escrever:

Passo 3

Agora, para encontrar P(min T1, dots, Tn > w) = P(T1 > w, T2 > w, dots, Tn > w) , é mais fácil calcular o complemento dessa probabilidade, ou seja, a probabilidade de que todas as variáveis sejam maiores que .
Então:

Passo 4

Como as variáveis P(T1 > w) times P(T2 > w) times dots times P(Tn > w) = prodi=1^n [1 - Fi(w)] são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
Aqui, usamos que , onde é a função distribuição acumulada de .

Passo 5

Agora, voltando à definição de FW(w) = 1 - P(min T1, dots, Tn > w) = 1 - prodi=1^n [1 - Fi(w)] :
Então, concluímos que a função distribuição acumulada de é 1 menos o produto das probabilidades de cada ser maior que .

Resposta

A função distribuição acumulada de FW(w) = 1 - prodi=1^n [1 - Fi(w)] é dada por:

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