Dada uma variável aleatória contínua e positiva com densidade , definimos a taxa de risco de por
onde é a função distribuição acumulada de .
Se representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante . Ou seja,
Considere agora variáveis positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por , e defina . Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de em termos das funções distribuição acumuladas de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a função distribuição acumulada (FDA) de , onde são variáveis aleatórias contínuas e positivas, independentes, com funções densidade e funções distribuição acumulada . Para resolver isso, vamos precisar entender como combinamos as distribuições de variáveis independentes para encontrar a distribuição do mínimo delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função distribuição acumulada de é a probabilidade de que seja menor ou igual a . Como é o mínimo de várias variáveis, isso significa que pelo menos uma delas deve ser menor ou igual a .
Matematicamente, podemos escrever:

Passo 3

Agora, para encontrar , é mais fácil calcular o complemento dessa probabilidade, ou seja, a probabilidade de que todas as variáveis sejam maiores que .
Então:

Passo 4

Como as variáveis são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:
Aqui, usamos que , onde é a função distribuição acumulada de .

Passo 5

Agora, voltando à definição de :
Então, concluímos que a função distribuição acumulada de é 1 menos o produto das probabilidades de cada ser maior que .

Resposta

A função distribuição acumulada de é dada por:

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A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;
Sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
As variáveis são independentes?
O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média . Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade de ser local e de ser internacional ou interurbana. Seja o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que e são independentes, e têm distribuição de Poisson de média e , respectivamente, siga os passos abaixo.
Argumente que
De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.