Dada uma variável aleatória contínua e positiva
com densidade
, definimos a taxa de risco
de
por
onde
é a função distribuição acumulada de
.
Se
representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante
. Ou seja,
Considere agora variáveis
positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por
, e defina
. Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de
em termos das funções distribuição acumuladas de
;
Se
a) Encontre a função distribuição acumulada de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a função distribuição acumulada (FDA) de
, onde
são variáveis aleatórias contínuas e positivas, independentes, com funções densidade
e funções distribuição acumulada
. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinamos as distribuições de variáveis independentes para encontrar a distribuição do mínimo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função distribuição acumulada
de
é a probabilidade de que
seja menor ou igual a
. Como
é o mínimo de várias variáveis, isso significa que pelo menos uma delas deve ser menor ou igual a
.
Matematicamente, podemos escrever:
Passo 3
Agora, para encontrar
, é mais fácil calcular o complemento dessa probabilidade, ou seja, a probabilidade de que todas as variáveis
sejam maiores que
.
Então:
Passo 4
Como as variáveis
são independentes, a probabilidade conjunta
é o produto das probabilidades individuais:
Aqui, usamos que
, onde
é a função distribuição acumulada de
.
Passo 5
Agora, voltando à definição de
:
Então, concluímos que a função distribuição acumulada de
é 1 menos o produto das probabilidades de cada
ser maior que
.
Resposta
A função distribuição acumulada de
é dada por: