De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
a) pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que fala sobre a porcentagem de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã. A matéria envolvida é Estatística, mais especificamente, Probabilidade e Distribuições de Probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de um evento acontecer em uma amostra grande usando a distribuição normal como aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que foi dado na questão. Temos 200 homens, dos quais 25,2% nunca tomam café da manhã. Também temos 200 mulheres, com 23,6% que nunca tomam café da manhã. No total, são 400 pessoas. Queremos encontrar a probabilidade de que pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã.

Passo 3

Para resolver isso, vamos considerar a soma das pessoas que nunca tomam café da manhã entre homens e mulheres como uma variável aleatória. Como temos uma amostra grande, podemos usar a aproximação normal para facilitar os cálculos.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a média (μ) dessa distribuição. A média é a soma das médias de homens e mulheres.
Para os homens:
Para as mulheres:
Então, a média total é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão (σ). Primeiro, encontramos a variância para homens e mulheres e depois somamos.
Para os homens:
Para as mulheres:
Variância total:
Desvio padrão:

Passo 6

Queremos a probabilidade de que pelo menos 110 pessoas nunca tomem café da manhã. Como estamos usando a aproximação normal, vamos aplicar a correção de continuidade. Então, vamos calcular a probabilidade de X ser maior ou igual a 109,5.
Primeiro, calculamos o valor z:

Passo 7

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente ao z = 1,384. Consultando a tabela, encontramos que a probabilidade de z ser menor que 1,384 é aproximadamente 0,916.
Mas queremos a probabilidade de z ser maior que 1,384:

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 110 das 400 pessoas nunca tomem café da manhã é aproximadamente .

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