De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, 25,2 % dos homens e 23,6 % das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
a) pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que fala sobre a porcentagem de homens e mulheres que nunca tomam café da manhã. A matéria envolvida é Estatística, mais especificamente, Probabilidade e Distribuições de Probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de um evento acontecer em uma amostra grande usando a distribuição normal como aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que foi dado na questão. Temos 200 homens, dos quais 25,2% nunca tomam café da manhã. Também temos 200 mulheres, com 23,6% que nunca tomam café da manhã. No total, são 400 pessoas. Queremos encontrar a probabilidade de que pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã.

Passo 3

Para resolver isso, vamos considerar a soma das pessoas que nunca tomam café da manhã entre homens e mulheres como uma variável aleatória. Como temos uma amostra grande, podemos usar a aproximação normal para facilitar os cálculos.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a média (μ) dessa distribuição. A média é a soma das médias de homens e mulheres.
Para os homens:
muhomens = nhomens times phomens = 200 times 0,252 = 50,4
Para as mulheres:
mumulheres = nmulheres times pmulheres = 200 times 0,236 = 47,2
Então, a média total é:
mu = 50,4 + 47,2 = 97,6

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão (σ). Primeiro, encontramos a variância para homens e mulheres e depois somamos.
Para os homens:
sigma^2homens = nhomens times phomens times (1 - phomens) = 200 times 0,252 times (1 - 0,252) = 200 times 0,252 times 0,748 approx 37,6
Para as mulheres:
sigma^2mulheres = nmulheres times pmulheres times (1 - pmulheres) = 200 times 0,236 times (1 - 0,236) = 200 times 0,236 times 0,764 approx 36,1
Variância total:
sigma^2 = 37,6 + 36,1 = 73,7
Desvio padrão:
sigma = raiz73,7 approx 8,59

Passo 6

Queremos a probabilidade de que pelo menos 110 pessoas nunca tomem café da manhã. Como estamos usando a aproximação normal, vamos aplicar a correção de continuidade. Então, vamos calcular a probabilidade de X ser maior ou igual a 109,5.
Primeiro, calculamos o valor z:
z = X - musigma = 109,5 - 97,68,59 approx 11,98,59 approx 1,384

Passo 7

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente ao z = 1,384. Consultando a tabela, encontramos que a probabilidade de z ser menor que 1,384 é aproximadamente 0,916.
Mas queremos a probabilidade de z ser maior que 1,384:
P(X >= 110) = 1 - P(z <= 1,384) = 1 - 0,916 = 0,084

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 110 das 400 pessoas nunca tomem café da manhã é aproximadamente 8,4%.

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