Determinado contador recebeu uma demanda com 50 contas para serem auditadas. Sabe-se que os tempos gastos para que ele faça a auditoria em cada conta são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média de 20 minutos e variância de 16 minutos2. Ao utilizar o teorema do limite central, qual a probabilidade aproximada de que sejam gastos menos de 450 minutos para auditar 25 contas? Observação:
, onde
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um contador que precisa auditar contas, e queremos saber a probabilidade de ele gastar menos de 450 minutos para auditar 25 contas. Vamos usar o Teorema do Limite Central pra resolver isso. O que precisamos saber:
- Média de tempo por conta: 20 minutos
- Variância do tempo por conta: 16 minutos²
- Número de contas: 25
Vamos calcular a soma dos tempos e usar a normalização para achar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média total para as 25 contas. Como a média por conta é 20 minutos, a média total será:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância total. A variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias individuais. Então:
E o desvio padrão total é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de gastar menos de 450 minutos. Vamos padronizar isso usando o escore z:
Passo 5
Agora, usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que é a Φ(z). Mas nosso z é -2,5. Lembrando que:
E sabemos que:
Então:
Resposta
A probabilidade aproximada é
. Alternativa d)