Determinado contador recebeu uma demanda com 50 contas para serem auditadas. Sabe-se que os tempos gastos para que ele faça a auditoria em cada conta são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média de 20 minutos e variância de 16 minutos2. Ao utilizar o teorema do limite central, qual a probabilidade aproximada de que sejam gastos menos de 450 minutos para auditar 25 contas? Observação: Phi(z)=P(Z <= z), onde Z sim N(0,1).
a) Phi(2,5)
b) Phi(1,25)
c) Phi(0,125)
d) 1-Phi(2,5)
e) 1-Phi(0,125)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um contador que precisa auditar contas, e queremos saber a probabilidade de ele gastar menos de 450 minutos para auditar 25 contas. Vamos usar o Teorema do Limite Central pra resolver isso. O que precisamos saber:
  • Média de tempo por conta: 20 minutos
  • Variância do tempo por conta: 16 minutos²
  • Número de contas: 25
Vamos calcular a soma dos tempos e usar a normalização para achar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média total para as 25 contas. Como a média por conta é 20 minutos, a média total será:
mutotal = n times mu = 25 times 20 = 500 minutos

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância total. A variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias individuais. Então:
sigmatotal^2 = n times sigma^2 = 25 times 16 = 400 minutos^2
E o desvio padrão total é a raiz quadrada da variância:
sigmatotal = raiz400 = 20 minutos

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de gastar menos de 450 minutos. Vamos padronizar isso usando o escore z:
z = X - mutotalsigmatotal = 450 - 50020 = -5020 = -2,5

Passo 5

Agora, usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que é a Φ(z). Mas nosso z é -2,5. Lembrando que:
P(X <= 450) = P(Z <= -2,5)
E sabemos que:
P(Z <= -z) = 1 - Phi(z)
Então:
P(Z <= -2,5) = 1 - Phi(2,5)

Resposta

A probabilidade aproximada é . Alternativa d)

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