A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg . Se a distribuição dos pesos X dos usuários for suposta Normal com média 70 kg e desvio-padrão 10 kg :
Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?
Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a probabilidade de sete passageiros entrarem no elevador e a soma dos pesos deles ultrapassar o limite de 500 kg. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Probabilidade. Vamos precisar saber como somar distribuições normais e calcular probabilidades usando o z-score.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição dos pesos. Cada passageiro tem um peso que segue uma distribuição Normal com média
kg e desvio-padrão
kg.
Passo 3
Quando a gente tem a soma de variáveis aleatórias normais independentes, essa soma também é uma variável normal. Então, a soma dos pesos de 7 passageiros também segue uma distribuição Normal.
Passo 4
Vamos calcular a média e o desvio-padrão dessa soma. A média total
é igual a 7 vezes a média individual:
E o desvio-padrão total
é igual a
multiplicado pela raiz quadrada de 7:
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de a soma dos pesos ser maior que 500 kg. Vamos calcular o valor de
usando a fórmula:
Passo 6
Com o valor de
, vamos consultar a tabela da Distribuição Normal Padrão ou usar uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. A probabilidade de
ser menor que 0,378 é aproximadamente 0,648.
Passo 7
Como queremos a probabilidade de exceder 500 kg, vamos subtrair esse valor de 1:
Resposta
A probabilidade de sete passageiros ultrapassarem o limite de 500 kg é de aproximadamente 35,2%.
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, onde
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)