A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg . Se a distribuição dos pesos X dos usuários for suposta Normal com média 70 kg e desvio-padrão 10 kg :
Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a probabilidade de sete passageiros entrarem no elevador e a soma dos pesos deles ultrapassar o limite de 500 kg. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Probabilidade. Vamos precisar saber como somar distribuições normais e calcular probabilidades usando o z-score.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição dos pesos. Cada passageiro tem um peso que segue uma distribuição Normal com média kg e desvio-padrão kg.

Passo 3

Quando a gente tem a soma de variáveis aleatórias normais independentes, essa soma também é uma variável normal. Então, a soma dos pesos de 7 passageiros também segue uma distribuição Normal.

Passo 4

Vamos calcular a média e o desvio-padrão dessa soma. A média total é igual a 7 vezes a média individual:
E o desvio-padrão total é igual a multiplicado pela raiz quadrada de 7:

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de a soma dos pesos ser maior que 500 kg. Vamos calcular o valor de usando a fórmula:

Passo 6

Com o valor de , vamos consultar a tabela da Distribuição Normal Padrão ou usar uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. A probabilidade de ser menor que 0,378 é aproximadamente 0,648.

Passo 7

Como queremos a probabilidade de exceder 500 kg, vamos subtrair esse valor de 1:

Resposta

A probabilidade de sete passageiros ultrapassarem o limite de 500 kg é de aproximadamente 35,2%.

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d)
e)