Se (X, Y) é uniformemente distribuído em um quadrado de lado 2, centrado em (0,0) (ou seja, R=[-1,1] times[-1,1] no exercício anterior), calcule P(X^2+Y^2 <= 1).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos encontrar a probabilidade de que um ponto escolhido de forma uniforme em um quadrado de lado 2, centrado na origem, esteja dentro do círculo de raio 1. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade geométrica, calculando áreas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a área do quadrado onde o ponto está sendo escolhido. Como o lado do quadrado é 2, a área Aquadrado = lado times lado = 2 times 2 = 4 é dada por:

Passo 3

Em seguida, calculamos a área do círculo de raio 1, que representa a região onde Acírculo = pi times raio^2 = pi times 1^2 = pi . A área í de um círculo é dada por:
í

Passo 4

A probabilidade desejada é a razão entre a área do círculo e a área do quadrado, já que a distribuição é uniforme. Ou seja:
P(X^2 + Y^2 <= 1) = AcírculoAquadrado = pi4 í

Resposta

A probabilidade é , aproximadamente 0,7854.

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