Uma central de atendimento funciona com dois servidores atendendo simultaneamente, de modo independente. O tempo de atendimento por chamada do servidor
, que chamaremos de
, tem distribuição exponencial de parâmetro
,
, independentes entre si. Em um dado instante encontramos filas vazias e exatamente uma pessoa sendo atendida em cada servidor. Seja
o instante que o primeiro deles é liberado. Considerando que ambos começaram o atendimento ao mesmo tempo, determine a densidade de
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma central de atendimento com dois servidores trabalhando ao mesmo tempo e de forma independente. Cada servidor tem um tempo de atendimento que segue uma distribuição exponencial com parâmetros
e
. A gente quer descobrir qual a densidade de probabilidade do tempo
que leva para o primeiro dos dois servidores ficar livre, ou seja, o mínimo entre
e
.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar que quando temos variáveis aleatórias independentes e exponenciais, o mínimo delas também segue uma distribuição exponencial. A taxa dessa nova distribuição é a soma das taxas individuais. Isso é uma propriedade bem útil da distribuição exponencial.
Passo 3
Então, no nosso caso, como
e
e
são independentes com parâmetros
e
, respectivamente, a taxa para
será:
Passo 4
Com essa taxa, podemos escrever a função densidade de
usando a fórmula da distribuição exponencial:
Resposta
A densidade de
é
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