Uma central de atendimento funciona com dois servidores atendendo simultaneamente, de modo independente. O tempo de atendimento por chamada do servidor , que chamaremos de , tem distribuição exponencial de parâmetro , , independentes entre si. Em um dado instante encontramos filas vazias e exatamente uma pessoa sendo atendida em cada servidor. Seja o instante que o primeiro deles é liberado. Considerando que ambos começaram o atendimento ao mesmo tempo, determine a densidade de .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma central de atendimento com dois servidores trabalhando ao mesmo tempo e de forma independente. Cada servidor tem um tempo de atendimento que segue uma distribuição exponencial com parâmetros e . A gente quer descobrir qual a densidade de probabilidade do tempo que leva para o primeiro dos dois servidores ficar livre, ou seja, o mínimo entre e .

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que quando temos variáveis aleatórias independentes e exponenciais, o mínimo delas também segue uma distribuição exponencial. A taxa dessa nova distribuição é a soma das taxas individuais. Isso é uma propriedade bem útil da distribuição exponencial.

Passo 3

Então, no nosso caso, como e e são independentes com parâmetros e , respectivamente, a taxa para será:

Passo 4

Com essa taxa, podemos escrever a função densidade de usando a fórmula da distribuição exponencial:

Resposta

A densidade de é

Exercícios relacionados

Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 100 ohms e um desvio-padrão de 10 ohms. A distribuição de resistências é normal.
Qual o tamanho da amostra que a companhia eletrônica deve avaliar para que a probabilidade de a média amostral estar entre 98 e 102 ohms seja de ?
A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a) a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;
A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg . Se a distribuição dos pesos X dos usuários for suposta Normal com média 70 kg e desvio-padrão 10 kg :
Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?
De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, dos homens e das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
a) pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;